用户:Physicsyang15/Solution of Schrödinger equation for a step potential

在量子力学和散射理论中，一维的阶梯位能是一个理想化的系统，用以模拟物质波的入射、反射与透射。在此问题中，需要处理粒子在一维阶梯位能中的不含时薛定谔方程。 一般而言，可以用黑维塞阶梯函数来模拟此阶梯位能。

计算

薛定谔方程与位能函数

绿线是高度为V₀的阶梯位能。黄线是入射波，蓝线是反射与透射波。红线的情况不会发生。在此E > V₀。

 波函数 $\psi (x)$所满足的不含时的薛定谔方程如下：

$H\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),$

在此H 是哈密顿算符， ħ 是约化普朗克常数， m 是质量， E 是粒子的能量。此阶梯位能只是高度V₀与黑维塞阶梯函数的乘积。

$V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}$

此阶梯函数将障壁置于 x = 0 处。若置于任意位置 x₀ 并不会改变结果，仅须将位置座标平移 -x₀ 即可。

哈密顿算符中的第一项 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi$ 是粒子的动能。