User:Physicsyang15/Solution of Schrödinger equation for a step potential

在量子力學和散射理論中，一維的階梯位能是一個理想化的系統，用以模擬物質波的入射、反射與透射。在此問題中，需要處理粒子在一維階梯位能中的不含時薛丁格方程。 一般而言，可以用黑維塞階梯函數來模擬此階梯位能。

計算

薛丁格方程與位能函數

綠線是高度為V₀的階梯位能。黃線是入射波，藍線是反射與透射波。紅線的情況不會發生。在此E > V₀。

 波函數 $\psi (x)$所滿足的不含時的薛丁格方程如下：

$H\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),$

在此H 是哈密頓算符， ħ 是約化普朗克常數， m 是質量， E 是粒子的能量。此階梯位能只是高度V₀與黑維塞階梯函數的乘積。

$V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}$

此階梯函數將障壁置於 x = 0 處。若置於任意位置 x₀ 並不會改變結果，僅須將位置座標平移 -x₀ 即可。

哈密頓算符中的第一項 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi$ 是粒子的動能。