群同態

從$G$（左）到$H$（右）的群同態（$h$）的像。在$H$內的橢圓形是$h$的像。$N$是$h$的核而$aN$是$h$的陪集。

在數學中，給定兩個群$(G,*)$和$(H,\cdot )$，從 $(G,*)$到 $(H,\cdot )$的群同態(Group homomorphism)是函數$h:(G,*)\to (H,\cdot )$使得對於所有$G$中的$u$和$v$下述等式成立

$h(u*v)=h(u)\cdot h(v)$

在這裏，等號左側的群運算$*$，是$G$中的運算；而右側的運算$\cdot$是$H$中的運算。

從這個性質，可推導出$h$將$G$的單位元素$e_{G}$映射到$H$的單位元素$e_{H}$，並且它還在$h(u^{-1})=h(u)^{-1}$的意義上映射反元素到反元素。因此我們可以說$h$「兼容於群結構」。

過去同態$h(x)$常用$x_{h}$或$x^{h}$來表示，它容易混淆於索引或一般下標。更新近的傾向是把群同態寫在它們的自變量的右側，省略括號，如此$h(x)$簡化成了$x\ h$。這種方法因為其更適應自動機從左至右讀字的習慣從而在某些廣泛應用自動機理論的群論中頗為流行。

在考慮有額外的結構的群的數學領域中，同態不僅要滿足上述的群結構，還要滿足額外的結構。比如拓撲群的同態經常要求是連續的。

像與核

我們定義$h$的核被映射到$H$中單位元素$e_{h}$上的$G$中元素的集合

$\mathrm {ker} (h)=\{u\in G:h(u)=e_{H}\}$

定義$h$的像為

$\mathrm {im} (h)=\{h(u):u\in G\}$

核是$G$的正規子群（事實上，$h\left(g^{-1}ug\right)=h(g)^{-1}h(u)h(g)=h(g)^{-1}e_{H}h(g)=e_{H}$)，而像則是$H$的子群。同態$h$是單射（並叫做單同態）當且僅當$\mathrm {ker} (h)=\{e_{G}\}$。

同態的核和像可以被解釋為對它接近於同構的程度。第一同構定理說明了群同態的像$\mathrm {im} (h)$同構於商群$G/\mathrm {ker} (h)$。

例子

• 考慮帶有加法的循環群$\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{0,1,2\}$和整數集$\mathbb {Z}$的群。映射$h:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$，有$h(u)$為$u$ 模以3，是群同態。它是滿射並且它的核由被三整除的所有整數構成。

• 指數映射產生從帶有加法的實數集$R$的群到帶有乘法的非零實數集$R^{*}$的群的群同態。核是$\{0\}$而像由正實數組成。

• 指數映射還產生從帶有加法的複數集$C$的群到帶有乘法的非零複數集$C^{*}$的群的同態。這個映射是滿射並且有核$\{2\pi ki:k\in \mathbb {Z} \}$，這可以從歐拉公式得出。

• 給定任何兩個群$G$和$H$，映射$h:G\to H$，把所有$G$的元素對應到$H$的單位元素，是同態；它的核是集合$H$。

• 給定任何群$G$，恆等映射$\mathrm {id} :G\to G$定義為對於$G$中所有的$u$，$\mathrm {id} (u)=u$。恆等映射是群同態。

群範疇

如果$h:G\to H$和$k:H\to K$是群同態，則$h\circ k:G\to K$也是群同態。這證明所有群構成的類，和態射即群同態，一起構成一個範疇。

同態映射的類型

如果同態$h$是對射，則你還可以證明它的逆映射仍是同態，這種$h$叫做群同構；在這種情況下，群$G$和$H$被稱為是「同構的」:它們只在元素的符號上有差異而對於所有實踐用途都是同一的。

如果$h:G\to G$是群同態，我們稱之為$G$的自同態。如果它進一步的是對射並且因此是同構，則稱為自同構。群$G$的所有自同構的集合，帶有函數複合作為運算，自身形成一個群，叫做$G$的自同構群，記為$\mathrm {Aut} (G)$。例如說，$(\mathbb {Z} ,+)$的自同構群只有兩個元素，恆等轉換和乘以$-1$；它同構於$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$。

滿同態是滿射的同態，單同態是單射的同態。

阿貝爾群的同態

如果$G$和$H$是阿貝爾群（就是交換群），則所有從$G$到$H$的群同態的集合$\mathrm {Hom} (G,H)$自身是阿貝爾群：兩個同態的和$h+k$定義為

對於所有$G$中$u$，$(h+k)(u)=h(u)+k(u)$。

$H$的交換律對於證明$h+k$也是群同態是必需的。同態的加法在如下意義上兼容於同態的複合：如果$f$在$\mathrm {Hom} (K,G)$中，$h$, $k$是$\mathrm {Hom} (G,H)$的元素，並且$g$在$\mathrm {Hom} (H,L)$中，則

$(h+k)\circ f=(h\circ f)+(k\circ f)$，並且$g\circ (h+k)=(g\circ h)+(g\circ k)$。

這證明了一個阿貝爾群的所有自同態的集合$\mathrm {End} (G)$形成了一個環，即$G$的自同態環。例如，由兩個$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$的直積構成的阿貝爾群（克萊因四元群）的自同態群同構於帶有$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$內元素的$2\times 2$ 矩陣的環。上述兼容性還證明所有阿貝爾群帶有群同態的範疇形成了預加法範疇；存在直積和良定義的核使這個範疇成為阿貝爾範疇的原型。

參見

• 同態基本定理

引用

• Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 3rd, Springer-Verlag, 2002 .

外部連結

• Group Homomorphism. PlanetMath.