交错群

数学中，交错群（alternating group）是一个有限集合偶置换之群。集合 $\{1,\cdots ,n\}$上的交错群称为 $n$阶交错群，或 $n$ 个字母上的交错群，记做 $A_{n}$或 $\mathrm {Alt} (n)$。

例如，4 阶交错群是 $A_{4}=\{e,(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ （参见轮换记法）。

基本性质

对 $n>1$，群$A_{n}$是对称群 $S_{n}$的交换子群，指数为 2，从而有${\frac {n!}{2}}$个元素。它是符号群同态 $\operatorname {sgn} :S_{n}\to \{1,-1\}$的核。

群 $A_{n}$ 是阿贝尔的当且仅当 $n\leq 3$，是单群当且仅当 $n=3$ 或 $n\geq 5$。注意 $A_{3}$ 事实上是 3 阶单群。$A_{1}$与 $A_{2}$ 是 1 阶群，一般不称为单群的，而 $A_{4}$ 有一个非平凡正规子群从而不是单群。$A_{5}$是最小非阿贝尔单群，阶数为 60，也是最小不可解群。

共轭类

在对称群中，$A_{n}$ 的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成，这里长为 1 的轮换包含在轮换型中，则对这样的轮换型恰有两个共轭类 (Scott 1987，§11.1, p299)。

例如：

• 两个置换 (123) 与 (132) 有相同的轮换型从而在 S₃ 中共轭，但在 A₃ 中不共轭。
• 置换 (123)(45678) 与其逆 (132)(48765) 有相同的轮换型所以在 S₈ 中共轭，但在 A₈ 中不共轭。

自同构群

更多信息：对称群和交错群的自同构

$n$	${\mbox{Aut}}(A_{n})$	${\mbox{Out}}(A_{n})$
$n\geq 4,n\neq 6$	$S_{n}\,$	$C_{2}\,$
$n=1,2\,$	$1\,$	$1\,$
$n=3\,$	$C_{2}\,$	$C_{2}\,$
$n=6\,$	$S_{6}\rtimes C_{2}$	$V=C_{2}\times C_{2}$

对 n > 3，除了 n = 6，A_n 的自同构群就是 S_n 的自同构群，其内自同构群为 A_n 外自同构群为 Z₂；外自同构来自用一个奇置换共轭。

对 n = 1 与 2，自同构群平凡。对 n = 3 自同构群是 Z₂，其内自同构群平凡外自同构群为 Z₂。

A₆ 的外自同构群是克莱因四元群 V = Z₂ × Z₂，这也是 S₆ 的自同构群。 A₆ 另外的自同构将三轮换（比如 (123)）与 3² 型元素（比如 (123)(456)）交换。

特殊同构

在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是

• A₄ 同构于 PSL₂(3) 以及手征性四面体对称之对称群。
• A₅ 同构于 PSL₂(4)，PSL₂(5)，以及手征性二十面体对称之对称群。
• A₆ 同构于 PSL₂(9) 与 PSp₄(2)'。
• A₈ 同构于 PSL₄(2)。

更显然有 A₃ 同构于循环群 Z₃，以及 A₁ 与 A₂ 同构于平凡群（也是 SL₁(q)=PSL₁(q) 对任何 q）。

子群

A₄ 是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群：给定一个有限群 G 和 |G| 的一个因子 d，不一定存在 G 的一个 d 阶子群。群 G = A₄，阶为 12，没有 6 阶子群。有三个元素的子群（由三个对象的轮换旋转生成）再加上任何一个其它元素生成整个群。

群同调

交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论中的稳定性：对足够大的 n 是常值。

H₁：阿贝尔化

第一同调群与阿贝尔化相同，因为 $A_{n}$ 除去已经提到的例外是完全群（完滿群），从而有

$H_{1}(A_{3},\mathbf {Z} )=A_{3}^{\text{ab}}=A_{3}=\mathbf {Z} /3;\,$

$H_{1}(A_{4},\mathbf {Z} )=A_{4}^{\text{ab}}=\mathbf {Z} /3;\,$

$H_{1}(A_{n},\mathbf {Z} )=0$ for $n=1,2$ and $n\geq 5.\,$

H₂：舒尔乘子

当 n 等于 5 或大于等于 8 时，交错群 A_n 的舒尔乘子是 2 阶循环群；在 6 和 7 时有一个三重覆盖，则舒尔乘子的阶数为 6。

$H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=0$ for $n=1,2,3;\,$

$H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /6$ 对 $n=6,7;\,$

$H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2$ 对 $n=4,5$ 與 $n\geq 8.$

参考文献

• Scott, W.R., Group Theory, New York: Dover Publications, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8 
• 徐明曜, 有限群导引·上册（第二版）, 北京: 科学出版社, 2001, ISBN 7-03-007119-0