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多面體半形

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多面體半形，為一類型的射影多面體，同時也是抽象多面體。其可透過將點對稱的球面多面體（英語：Spherical polyhedron）進行對映映射後得到。多面體半形的面數只有原多面體的一半，而且投影平面上位於邊緣的對角頂點、對角邊、對角面皆視為相同幾何元素。存在半形體的多面體的必要條件為其原像須具備點對稱的特性，而向正四面體不具備點對稱的特性[1]，因此正四面體不存在半形體。

性質

若兩多面體互為對偶多面體，則其對應的半形體也互為對偶多面體。例如立方體與正八面體互為對偶多面體，則立方體半形與正八面體半形也互為對偶多面體。多面體的半形體皆為不可定向圖形。[2]

種類

正多面體半形

除了正四面體外，其他正多面體都存在半形體[3][4][5][6]。


立方體半形
八面體半形
十二面體半形
二十面體半形

均勻多面體半形

部分阿幾米德立體和卡塔蘭立體也可以存在半形體[7][8]。


截半立方體半形（原像：截半立方體）[7]
菱形十二面體半形（英語：Rhombic hemi-dodecahedron）（原像：菱形十二面體）
截角二十面體半形（原像：截角二十面體）

多面形半形

多面形是一種球面多面體，由球面的一點與其對蹠點相連接而成，並將球面分成多個部分。若球面被分割的數量為偶數，則該多面形存在半形體。例如二面形、四面形、六面形等多面形皆存在半形體。[9]

前幾個多面形半形性質如下：

n 名稱 施萊夫利符號 面數 邊數 頂點數 原始立體 原始立體的元質數
f:面, e:邊, v:頂點 		對偶多面體 皮特里對偶
2 二面形半形 {2,2}1[9] 1 1 1 二面形 f:2, e:2, v:2 （自身對偶） 一角形二面體
(f:2, e:1, v:1)[10]
4 四面形半形 {2,4}4[9] 2 2 1 四面形 f:4, e:4, v:2 正方形二面體半形
{4,4}1,0
(f:1, e:2, v:1)[11]
6 六面形半形 {2,6}3[9] 3 3 1 六面形 f:6, e:6, v:2 六邊形二面體半形
{3,6}1,1
(f:2, e:3, v:1)[12]
8 八面形半形 {2,8}8[9] 4 4 1 八面形 f:8, e:8, v:2 八邊形二面體半形 S2:{8,8}
(f:1, e:4, v:1)[13]
2n 2n面形半形 n n 1 2n面形 f:2n, e:2n, v:2 2n邊形二面體半形 (不一定)

多邊形二面體半形

多邊形二面體是指多邊形在三維空間中不會僅有一個面，其正面與反面會成對出現，因此稱為多邊形二面體。而成對出現的面（正面與反面）則滿足多面體半形的定義，僅要原始多邊形具備點對稱特性及可取半形，例如正方形二面體可以取半形體，成為正方形二面體半形。[9][14]

多邊形二面體半形是一種多面體半形，屬於抽象正多面體，有着多邊形二面體一半的面。其對應於圖論中的循環圖。[15]僅有偶數邊數的多邊形二面體可以存在多面體半形。2p邊形二面體半形具有1個面、p條邊和p個頂點，虧格為1，在施萊夫利符號中可以用{2p,2}/2表示。[9][15]

前幾個多邊形二面體半形性質如下：

n 名稱 施萊夫利符號 面數 邊數 頂點數 原始立體 原始立體的元質數
f:面, e:邊, v:頂點 		對偶多面體 皮特里對偶
4
正方形二面體半形 		{4,2}4[9] 1 2 2 正方形二面體 f:2, e:4, v:4 四面形半形[16] （自身皮特里對偶）[16]
6
六邊形二面體半形 		{6,2}3[9] 1 3 3 六邊形二面體 f:2, e:6, v:6 六面形半形 三角形二面體
(f:2, e:3, v:3)[17]
8
八邊形二面體半形 		{8,2}8[9] 1 4 4 八邊形二面體 f:2, e:8, v:8 八面形半形[18] （自身皮特里對偶）[18]

參考文獻

  1. ^ Henry Cohn. A tight squeeze. Mathematical physics, Nature. 2009, (460): 801–802 [2021-07-31]. doi:10.1038/460801a. （原始內容存檔於2021-07-31）. 
  2. ^ Carlo H. Séquin, Tubular Sculptures, CS Division, University of California, Berkeley, CA, 2021-07 [2021-07-31], （原始內容存檔於2021-07-31） 
  3. ^ The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2019-05-02）. 
  4. ^ The hemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2016-03-04）. 
  5. ^ The hemidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2017-03-16）. 
  6. ^ The hemi-icosahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2016-08-29）. 
  7. ^ 7.0 7.1 The hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-01-26）. 
  8. ^ The hemi-icosidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-08-02）. 
  9. ^ 9.00 9.01 9.02 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07 9.08 9.09 Regular maps in the non-orientable surface of genus 1. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. （原始內容存檔於2019-12-28）. 
  10. ^ The dimonogon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-07-31）. 
  11. ^ {4,4}(1,0). Regular Map database - map details. [2021-07-24]. 
  12. ^ {3,6}(1,1). Regular Map database - map details. [2021-07-24]. 
  13. ^ S2:{8,8}. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. 
  14. ^ N.S.Wedd. Regular Maps in the Projective Plane. Regular Map database, weddslist.com. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2020-01-28）. 
  15. ^ 15.0 15.1 Séquin, Carlo. Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps (PDF). Berkeley University. [2020-08-14]. （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-23）. 
  16. ^ 16.0 16.1 The hemi-di-square. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2020-02-01）. 
  17. ^ The hemi-di-hexagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2016-03-14）. 
  18. ^ 18.0 18.1 The hemi-di-octagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2016-03-14）. 

外部連結

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