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多面体半形

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多面体半形，为一类型的射影多面体，同时也是抽象多面体。其可透过将点对称的球面多面体（英语：Spherical polyhedron）进行对映映射后得到。多面体半形的面数只有原多面体的一半，而且投影平面上位于边缘的对角顶点、对角边、对角面皆视为相同几何元素。存在半形体的多面体的必要条件为其原像须具备点对称的特性，而向正四面体不具备点对称的特性[1]，因此正四面体不存在半形体。

性质

若两多面体互为对偶多面体，则其对应的半形体也互为对偶多面体。例如立方体与正八面体互为对偶多面体，则立方体半形与正八面体半形也互为对偶多面体。多面体的半形体皆为不可定向图形。[2]

种类

正多面体半形

除了正四面体外，其他正多面体都存在半形体[3][4][5][6]。


立方体半形
八面体半形
十二面体半形
二十面体半形

均匀多面体半形

部分阿几米德立体和卡塔兰立体也可以存在半形体[7][8]。


截半立方体半形（原像：截半立方体）[7]
菱形十二面体半形（英语：Rhombic hemi-dodecahedron）（原像：菱形十二面体）
截角二十面体半形（原像：截角二十面体）

多面形半形

多面形是一种球面多面体，由球面的一点与其对跖点相连接而成，并将球面分成多个部分。若球面被分割的数量为偶数，则该多面形存在半形体。例如二面形、四面形、六面形等多面形皆存在半形体。[9]

前几个多面形半形性质如下：

n 名称 施莱夫利符号 面数 边数 顶点数 原始立体 原始立体的元素数
f:面, e:边, v:顶点 		对偶多面体 皮特里对偶
2 二面形半形 {2,2}1[9] 1 1 1 二面形 f:2, e:2, v:2 （自身对偶） 一角形二面体
(f:2, e:1, v:1)[10]
4 四面形半形 {2,4}4[9] 2 2 1 四面形 f:4, e:4, v:2 正方形二面体半形
{4,4}1,0
(f:1, e:2, v:1)[11]
6 六面形半形 {2,6}3[9] 3 3 1 六面形 f:6, e:6, v:2 六边形二面体半形
{3,6}1,1
(f:2, e:3, v:1)[12]
8 八面形半形 {2,8}8[9] 4 4 1 八面形 f:8, e:8, v:2 八边形二面体半形 S2:{8,8}
(f:1, e:4, v:1)[13]
2n 2n面形半形 n n 1 2n面形 f:2n, e:2n, v:2 2n边形二面体半形 (不一定)

多边形二面体半形

多边形二面体是指多边形在三维空间中不会仅有一个面，其正面与反面会成对出现，因此称为多边形二面体。而成对出现的面（正面与反面）则满足多面体半形的定义，仅要原始多边形具备点对称特性及可取半形，例如正方形二面体可以取半形体，成为正方形二面体半形。[9][14]

多边形二面体半形是一种多面体半形，属于抽象正多面体，有著多边形二面体一半的面。其对应于图论中的循环图。[15]仅有偶数边数的多边形二面体可以存在多面体半形。2p边形二面体半形具有1个面、p条边和p个顶点，亏格为1，在施莱夫利符号中可以用{2p,2}/2表示。[9][15]

前几个多边形二面体半形性质如下：

n 名称 施莱夫利符号 面数 边数 顶点数 原始立体 原始立体的元素数
f:面, e:边, v:顶点 		对偶多面体 皮特里对偶
4
正方形二面体半形 		{4,2}4[9] 1 2 2 正方形二面体 f:2, e:4, v:4 四面形半形[16] （自身皮特里对偶）[16]
6
六边形二面体半形 		{6,2}3[9] 1 3 3 六边形二面体 f:2, e:6, v:6 六面形半形 三角形二面体
(f:2, e:3, v:3)[17]
8
八边形二面体半形 		{8,2}8[9] 1 4 4 八边形二面体 f:2, e:8, v:8 八面形半形[18] （自身皮特里对偶）[18]

参考文献

  1. ^ Henry Cohn. A tight squeeze. Mathematical physics, Nature. 2009, (460): 801–802 [2021-07-31]. doi:10.1038/460801a. （原始内容存档于2021-07-31）. 
  2. ^ Carlo H. Séquin, Tubular Sculptures, CS Division, University of California, Berkeley, CA, 2021-07 [2021-07-31], （原始内容存档于2021-07-31） 
  3. ^ The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2019-05-02）. 
  4. ^ The hemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-03-04）. 
  5. ^ The hemidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2017-03-16）. 
  6. ^ The hemi-icosahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-08-29）. 
  7. ^ 7.0 7.1 The hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-01-26）. 
  8. ^ The hemi-icosidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-08-02）. 
  9. ^ 9.00 9.01 9.02 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07 9.08 9.09 Regular maps in the non-orientable surface of genus 1. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. （原始内容存档于2019-12-28）. 
  10. ^ The dimonogon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-07-31）. 
  11. ^ {4,4}(1,0). Regular Map database - map details. [2021-07-24]. 
  12. ^ {3,6}(1,1). Regular Map database - map details. [2021-07-24]. 
  13. ^ S2:{8,8}. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. 
  14. ^ N.S.Wedd. Regular Maps in the Projective Plane. Regular Map database, weddslist.com. [2021-07-24]. （原始内容存档于2020-01-28）. 
  15. ^ 15.0 15.1 Séquin, Carlo. Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps (PDF). Berkeley University. [2020-08-14]. （原始内容存档 (PDF)于2015-09-23）. 
  16. ^ 16.0 16.1 The hemi-di-square. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2020-02-01）. 
  17. ^ The hemi-di-hexagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-03-14）. 
  18. ^ 18.0 18.1 The hemi-di-octagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-03-14）. 

外部链接

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