单参数酉群的斯通定理

在数学中，单参数酉群的斯通定理是泛函分析的一个基本定理，建立了希尔伯特空间 ${\mathcal {H}}$ 上强连续单参数酉群与该空间上的某个自伴算子的一一对应关系。具体来说，单参数酉群是指幺正算子构成的单参数族 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ ，且 $t\mapsto U_{t}$是一个连续群同態，所谓强连续是指

$\forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\psi \in {\mathcal {H}}:\qquad \lim _{t\to t_{0}}U_{t}(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ).$

该定理由Marshall Stone （1930, 1932）证明，而 John von Neumann （1932） 表明，至少当希尔伯特空间是可分的， $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的强连续性可以放宽为弱可测。

这是一个令人印象深刻的结果，因为它允许人们定义映射 $t\mapsto U_{t}$ 的导数，而该映射仅仅需要是连续的。它也与李群和李代数的理论有关。

正式表述

定理 — 设 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 是一个强连续的单参数酉群。那么存在一个唯一的（可能是无界的）自伴算子 $A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}$ 满足 $$\forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}.$$ $A$ 的定义域 ${\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}$ 定义为 $${\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left|\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}.$$

反过来，设 $A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}$ 是一个 ${\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}$ 上的（可能无界的）自伴算子，并定义单参数的幺正算子族 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 为 $$\forall t\in \mathbb {R} ,\quad U_{t}:=e^{itA},$$ 则其构成一个强连续的单参数群。

在定理的两个部分中，表达式 $e^{itA}$ 是通过博雷尔函数演算来定义的，它用到了无界自伴算子的谱定理。

无穷小生成元

上述定理中的算子 $A$ 被称为 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的无穷小生成元。此外， $A$ 有界当且仅当映射 $t\mapsto U_{t}$ 是范数连续的。

强连续酉群 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的无穷小生成元 $A$ 可以用下面的式子来计算：

$A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon }},$

其中， $A$ 的定义域为由这些在范数拓扑中存在极限的向量 $\psi$ 组成。也就是说， $A$ 等于 $-i$ 乘以 $U_{t}$ 关于 $t$ 在 $t=0$ 处的导数。该定理的一部分内容就是该导数的存在性——即 $A$ 是一个稠密定义的自伴算子。这个结果即使在有限维情况下也不是显然的，因为 $U_{t}$ 仅被假设具有（关于时间的）连续性，而不必可微。

例子

平移算子族

$\left[T_{t}(\psi )\right](x)=\psi (x+t)$

是一个由酉算子构成的单参数酉群；其无穷小生成元是一个空间上的微分算子

$-i{\frac {d}{dx}}$

的一个扩张，该空间由 $\mathbb {R}$ 上连续可微的紧支撑复值函数构成。因此

$T_{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}.$

换句话说，直线上的运动是由动量算子生成的。

应用

斯通定理在量子力学中有着广泛的应用。例如，给定一个孤立的量子力学系统，其状态的希尔伯特空间为 ${\mathcal {H}}$ ，其时间演化则是 ${\mathcal {H}}$ 上的强连续单参数酉群。这个群的无穷小生成元即是系统的哈密顿算子。

基于傅里叶变换的表述

斯通定理可以用傅里叶变换的语言来重述。实轴 $\mathbb {R}$ 是一个局部紧阿贝尔群。群C*-代数 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 的非退化*-表示与 $\mathbb {R}$ 的强连续幺正表示（即强连续的单参数酉群）一一对应。另一方面，傅里叶变换是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 到 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的*-同态，其中 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 是实轴上的在无穷远处消失的连续复值函数所构成的C*-代数。因此，强连续单参数酉群与 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的*-表示之间存在一一对应关系。由于 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的每个*-表示唯一地对应于一个自伴算子，就得到了斯通定理。

因此，获得强连续单参数酉群的无穷小生成元的过程如下：

• 设 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 是 $\mathbb {R}$ 在希尔伯特空间 ${\mathcal {H}}$ 上的强连续幺正表示。
• 积分此酉表示以产生 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 在 ${\mathcal {H}}$ 上的非退化*-表示 $\rho$ 。即，先定义$$\forall f\in C_{c}(\mathbb {R} ):\quad \rho (f):=\int _{\mathbb {R} }f(t)U_{t}dt,$$再将 $\rho$ 连续扩张到整个 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 。
• 使用傅里叶变换获得 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 在 ${\mathcal {H}}$ 上的非退化的 *-表示 $\tau$ 。
• 根据里斯-马尔可夫-角谷表示定理， $\tau$ 给出 $\mathbb {R}$ 上的一个投影值测度，而其是唯一的（可能无界的）自伴算子 $A$ 的单位分解。
• 于是， $A$ 就是 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的无穷小生成元。

$C^{*}(\mathbb {R} )$ 的精确定义如下。考虑 $\mathbb {R}$ 上的紧支撑连续复值函数，通过由卷积给出其乘法，其构成一个*-代数 $C_{c}(\mathbb {R} )$ 。这个 *-代数关于L1范数可完备化为一个巴拿赫*-代数，记作 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 。于是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 就被定义为 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 的包络$C^{*}$ -代数 ，即 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 相对于最大的可能的C*-范数的完备化。一个非平凡的事实是，傅里叶变换是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 与 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 间的一个同构。这个方向的一个结果是黎曼-勒贝格引理，它指出傅里叶变换将 $L^{1}(\mathbb {R} )$ 映射到 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 。

推广

斯通-冯诺伊曼定理将斯通定理推广到满足正则对易关系的一对自伴算子 $(P,Q)$ 上，并证明它们都与 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 上的位置算符和动量算符幺正等价。

希尔-吉田定理将斯通定理推广到巴拿赫空间上的强连续单参数压缩半群。

参考书目

• Hall, B.C., Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics 267, Springer, 2013, Bibcode:2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158 
• von Neumann, John, Über einen Satz von Herrn M. H. Stone, Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics), 1932, 33 (3): 567–573, ISSN 0003-486X, JSTOR 1968535, doi:10.2307/1968535 （German）  引文格式1维护：未识别语文类型 (link)
• Stone, M. H., Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (National Academy of Sciences), 1930, 16 (2): 172–175, Bibcode:1930PNAS...16..172S, ISSN 0027-8424, JSTOR 85485, PMC 1075964 , PMID 16587545, doi:10.1073/pnas.16.2.172 
• Stone, M. H., On one-parameter unitary groups in Hilbert Space, Annals of Mathematics, 1932, 33 (3): 643–648, JSTOR 1968538, doi:10.2307/1968538 
• K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, (1968)