閉包算子

在數學中，給定偏序集合 (P, ≤)，在 P 上的閉包算子是函數 C : P → P 帶有如下性質:

x ≤ C(x) 對於所有 x，就是說 C 是擴展性的。
如果 x ≤ y，則 C(x) ≤ C(y)，就是 C 是單調遞增的。
C(C(x)) = C(x) 對於所有的 x，就是說 C 是冪等函數。

例子

名字來自形成拓撲空間的子集的閉包有這些性質，如果所有子集的集合按包含 ⊆ 來排序。(注意拓撲閉包算子不由這些性質來刻畫；完全特徵刻畫請參見庫拉托夫斯基閉包公理。)

另一個典型閉包算子是: 選取群 G 和任何 G 的子集 X，設 C(X) 是 X 生成的子群，就是說包含 X 的 G 的最小子群。則 C 是在 G 的子集的集合上閉包算子，它按包含 ⊆ 排序。類似的例子有向量空間的給定子集所生成的子空間，域的給定子集生成的子域，甚至泛代數意義上任何代數的給定子集生成的子代數。

從實數到實數的上取整函數，它對所有實數 x 指派不小於 x 的最小整數，也是閉包算子。

閉合元素和性質

給定閉包算子 C，P 的「閉合元素」是一個元素 x，它是 C 的不動點，或者等價的說，它在 C 的像中。如果 a 是閉合的並且 x 是任意的，則有著 x ≤ a 若且唯若 C(x) ≤ a。所以 C(x) 是大於或等於 x 的最小閉合元素。我們看到 C 被唯一的確定自閉合元素的集合。

所有伽羅瓦連接都引發一個閉包算子(其條目中有解釋)。事實上，所有閉包算子都以這種方式引發自伽羅瓦連接。伽羅瓦連接不唯一的確定自閉包算子。引發閉包算子 C 的伽羅瓦連接可以描述如下: 如果 A 是關於 C 的閉合元素的集合，則 C : P → A 是在 P 和 A 之間的伽羅瓦連接的下伴隨，帶有上伴隨為把 A 嵌入到 P 中。進一步的說，所有把某個子集嵌入 P 的下伴隨都是閉包算子。「閉包算子是嵌入的下伴隨」。但是注意不是所有嵌入都有下伴隨。

任何偏序集合 P 都可以被看作範疇，帶有從 x 到 y 的一個單一態射若且唯若 x ≤ y。在偏序集合 P 上的閉包算子就是在範疇 P 上的單子。等價的說，閉包算子可以被單做有額外的冪等和擴展性質的 Posets 範疇的 endofunctor。

如果 P 是完全格，則 P 的子集 A 是對某個 P 上閉包算子的閉合元素的集合，若且唯若 A 是在 P 上的 Moore家族，就是說 P 的最大元素在 A 中，並且任何 A 中非空子集的下確界(交運算)也在 A 中。任何這樣的集合 A 自身是帶有繼承自 P 的次序的完全格(但是上確界(並運算)可能不同於 P 的)。在 P 上的閉包算子自身形成一個完全格；在閉包算子上的次序定義為 C₁ ≤ C₂ 若且唯若 C₁(x) ≤ C₂(x) 對於所有 P 中的 x。

推廣

如上面提及的，閉包可以被看作來自伽羅瓦連接。如果把伽羅瓦連接推廣為伴隨函子，閉包的對應是單子。

引用

Brown D.J. and Suszko R. (1973). Abstract Logics, Dissertationes Mathematicae, 102, 9-42.
Castellini G. (2003) Categorical closure operators, Birkauser.
Gerla G. (2000) Fuzzy Logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning, Kluwer Ac. Publishers.
Lloyd J.W. (1987) Foundations of Logic Programming, Springer-Verlag, Berlin.
Tarski A. (1956). Logic, semantics and metamathematics, Clarendon Press, Oxford.
Ward M. (1942). The closure operators of a lattice, Annals of Mathematics, 43, 191-196.

參見