格林公式

提示：此條目的主題不是格林定律。

在物理學與數學中，格林定理給出了沿封閉曲線 C 的線積分與以 C 為邊界的平面區域 D 上的雙重積分的聯繫。格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。

定理

設閉區域$D$由分段光滑的簡單曲線 $L$圍成，函數 $P(x,y)$及$Q(x,y)$在$D$上有一階連續偏導數，則有

$\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\oint _{L^{+}}(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y)$

其中$L^{+}$是$D$的取正向的邊界曲線。

此公式叫做格林公式，它給出了沿著閉曲線$L$的曲線積分與$L$所包圍的區域$D$上的二重積分之間的關係。另見格林恆等式。格林公式還可以用來計算平面圖形的面積。

D 為一個簡單區域時的證明

以下是特殊情況下定理的一個證明，其中D是一種I型的區域，C₂和C₄是豎直的直線。對於II型的區域D，其中C₁和C₃是水平的直線。

如果我們可以證明

$\int _{C}L\,\mathrm {d} x=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A\qquad \mathrm {(1)}$

以及

$\int _{C}M\,\mathrm {d} y=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} A\qquad \mathrm {(2)}$

那麼就證明了格林公式是正確的。

把右圖中I型的區域D定義為：

$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$

其中g₁和g₂是區間[a, b]內的連續函數。計算(1)式中的二重積分：

$\iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A$	$=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L(x,y)}{\partial y}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\right]$
	$=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,\mathrm {d} x\qquad \mathrm {(3)}$

現在計算(1)式中的曲線積分。C可以寫成四條曲線C₁、C₂、C₃和C₄的併集。

對於C₁，使用參數方程：。那麼：

$\int _{C_{1}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,\mathrm {d} x$

對於C₃，使用參數方程：$x=x,\,y=g_{1}(x),\,a\leq x\leq b$。那麼：

$\int _{C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,\mathrm {d} x$

沿著C₃的積分是負數，因為它是沿著反方向從b到a。在C₂和C₄上，x是常數，因此：

$\int _{C_{4}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{C_{2}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=0$

所以：

$\int _{C}L\,\mathrm {d} x$	$=\int _{C_{1}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{2}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{4}}L(x,y)\,\mathrm {d} x$
	$=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,\mathrm {d} x\qquad \mathrm {(4)}$

(3)和(4)相加，便得到(1)。類似地，也可以得到(2)。

應用

計算區域面積

使用格林公式，可以用線積分計算區域的面積。因為區域D的面積等於$A=\iint _{D}dA$，所以只要我們選取適當的L與M使得${\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1$，就可以通過$A=\oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y)$來計算面積。

一種可能的取值是$A=\oint _{C}x\,\mathrm {d} y=-\oint _{C}y\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\oint _{C}x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x$。

參見

• 高斯公式
• 斯托克斯公式
• 格林函數