立方体

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正六面体

(按这里观看旋转模型)
类别	柏拉图立体 正多面体
对偶多面体	正八面体
识别
名称	正六面体
参考索引	U06, C18, W3
鲍尔斯缩写	cube
数学表示法
施莱夫利符号	{4,3}
威佐夫符号	3 | 2 4
康威表示法	C
性质
面	6
边	12
顶点	8
欧拉特征数	F=6, E=12, V=8 （χ=2）
二面角	90°
组成与布局
面的种类	正方形
面的布局	6个{4}
顶点图	4.4.4
对称性
对称群	Oh
特性
正凸环带多面体
图像
4.4.4 （顶点图） （展开图）

在几何学中，立方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体、正方体或正立方体。它有12条棱（边）和8个顶点，是五个柏拉图立体之一。

立方体是一种特殊的正四棱柱、长方体、三方偏方面体、菱形多面体、平行六面体，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形一様。立方体具有正八面体对称性，即考克斯特BC₃对称性，施莱夫利符号{4,3}，考克斯特-迪肯符号，其对偶多面体为正八面体。

性质

面的组成：正方形
面的数目：6
边的数目：12
顶点数目：8
表面积：$6a^{2}\$
体积：$a^{3}\$
二面角角度：$90^{\circ }$
外接球半径：${\sqrt {\frac {3}{4}}}a$$\approx 0.866a$
内接球半径：${\frac {a}{2}}$
对偶多面体：正八面体

在所有表面积一定的长方体中，立方体的体积最大，同样，在所有线性大小（长宽高之和）一定的长方体中，立方体的体积也是最大的。反过来，体积相等的长方体中，立方体拥有最小表面积和线性大小。

顶点坐标及表面方程

在三维直角坐标系中，对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体，其顶点坐标为 (±1, ±1, ±1) 的全排列。其包含了所有满足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的点(x,y,z)。

在R³中，以点(x₀,y₀,z₀)为中心的立方体表面是点(x,y,z)的运动轨迹，其中x,y,z满足：

$\lim _{n\to \infty }(x-x_{0})^{n}+(y-y_{0})^{n}+(z-z_{0})^{n}-a^{n}=0.$

几何性质

立方体有11种不同的展开图，即是说，我们可以有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形，见右图。

立方体的11种不同展开图

如果我们要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色，则我们至少需要3种颜色（类似于四色问题）。

立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体，因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌（三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体）。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的，因此，它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体（它所有相对的面关于立方体中心中心对称）。

将立方体沿对角线切开，能得到6个全等的正4棱柱（但它不是半正的，底面棱长与侧棱长之比为2:√3）将其正方形面贴到原来的立方体上，能得到菱形十二面体（两两共面三角形合成一个菱形）。

正交投影

我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上，这些投影都各自携带有立方体原本BC₃对称性的一部分。

正交投影

正对于	正方形面	顶点
考克斯特群	B2	A2
投影 对称性	[4]	[6]
倾斜视角

半正对称性与表面涂色

作为正多面体之一，立方体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性，即正八面体对称性O_h中，立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D_4h则将立方体描述得像一个正四棱柱，有两个颜色相同的上下底面，其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D_2h也将立方体描述的像一个棱柱，不过是长方形棱柱，即一个长方体，它的相对的面颜色相同，而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、考克斯特-迪肯符号和Wythoff符号。此外，由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱，立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶，即正三偏方面体。

名称	正六面体	正四棱柱	长方体	正三偏方面体
考克斯特符号
施莱夫利符号	{4,3}	{4}×{}	{}×{}×{}
Wythoff符号	3 | 4 2	4 2 | 2	2 2 2 |
对称性	Oh (*432)	D4h (*422)	D2h (*222)	D3d (2*3)
对称群阶	24	16	8	12
图像 (半正表面涂色)	(111)	(112)	(123)	(111), (112), (122), 及(222)

相关多面体及镶嵌

• 将立方体的其中四个顶点相连，而这四个顶点任何两条都没有落在立方体同一条的边上，可得到一个正四面体，其边长为立方体边长的${\sqrt {2}}$，其体积为立方体体积的${\frac {1}{3}}$。

正四面体外接正六面体

• 立方体的对偶多面体是正八面体。

当正八面体在立方体之内：
正八面体体积 : 立方体体积
=[(1/3)×高×底面积]×2 : 边³
=(1/3)(n/2)[(n²)/2]2 : n³
=1 : 6

• 星形八面体的对角线可组成一个立方体。
• 截半立方体：从一条棱斩去另一条棱的中点得出
• 截角立方体
• 超正方体：立方体在高维度的推广。更加一般的，立方体是一个大家族，即立方形家族（又称超方形、正测形）的3维成员，它们都具有相似的性质（如二面角都是90°、有类似的超体积公式，即V_n-cube=aⁿ等）。
• 长方体、偏方面体的特例。

将立方体对映映射后的到的商形成的一个实射影多面体，即立方体半形（hemicube）（不应叫其“半立方体”，因为其易与‘demicube’混淆）。

Hemi-立方体是立方体2到1的商

正方体的对偶多面体是正八面体，如果原正方体棱长为1，则对偶正八面体棱长为√2。

正方体是一种最特殊的四边形正六面体：

名称	棱长相等？	对角相等？	各角为直角？
立方体	是	是	是
菱面体	是	是	否
长方体	否	是	是
平行六面体	否	是	否
四边形正六面体	否	否	否

立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为半(Demi-)立方体的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体的对称群A₃是正方体对称群的子群，对应着能将半立方体变换到自身的对称变换，立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的¹/₃,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥，各占立方体体积的¹/₆。

从立方体各棱中点处切掉立方体的角，我们会发现原先立方体的正方形面变成了其对偶的正方形面，而切掉的顶点处出现了新的正三角形面，这样的操作叫“截半”（rectification），得到的半正多面体叫截半立方体（rectified cube），又叫立方八面体（cuboctahedron）。如果我们不在棱中点处截它，则这种操作叫“截角”（truncation），正方形面变成了八边形。如果截的合适，则我们可将正方形截成正八边形，得到的半正多面体叫截顶立方体（truncated cube）。如果我们同时截掉立方体的棱和顶，则这种操作叫“截棱”（centellation），如果截的恰当，得到的半正多面体是小斜方截半立方体（rhombicuboctahedron）。

正十二面体有20个顶点，它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组，这8个顶点两两相连，构成内接在正十二面体内部的立方体，它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起，构成复合多面体——五复合立方体。

正十二面体内部的五复合立方体

如果我们完全切掉立方体相对的两个顶点，我们会得到一个非正的八面体，将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上，则我们得到截半立方体。
立方体与所有其它拥有BC₃对称性的多面体（如正八面体和立方八面体）构成正八面体家族：

半正正八面体家族多面体

对称性: [4,3], (*432)							[4,3]+, (432)	[1+,4,3], (*332)	[4,3+], (3*2)
{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t1,2{4,3}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

此外，立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关：

多面体				欧式镶嵌	双曲镶嵌
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	...	{∞,3}

立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关：

多面体		欧式镶嵌	双曲镶嵌
{4,2}	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}	...	{4,∞}

立方体是正四棱柱：

正多边形柱体系列

对称群	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
[2n,2] [n,2] [2n,2+]
图像
球面多面体
图像

类别	柏拉图立体					卡塔兰立体
种子	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	aC	aD
倒角	cT	cC	cO	cD	cI	caC	caD

应用

• 日常生活
  • 食盐和糖的结晶体都是立方状。
  • 骰子最常见的形状就是立方体。
  • 1967年世界博览会的“立方体房间”
  • 中国国家游泳中心俗称“水立方”
• 游戏
  • 索马立方
  • 魔方
  • 扭扭骰
  • 斯洛陶伯－赫拉茨马立方：以6个1×2×2及3个单位立方组成3×3×3的立方（仅有一个解法）[1]
  • 康威立方：以3个1×1×3，13个1×2×4，及1×2×2和2×2×2的长方体各一个，组成一个5×5×5的立方（572个解）[2]
• 视错觉
  • 奈克方块
  • 不可能方块（下图）
• 数论
  • 立方数

数学问题

由正方体展开图可得知正方体表面积算法

正六边形的切法：沿上底两条邻边的中点，切至下底两条邻边的中点

倍立方体问题

参见尺规作图，已经证明此题无法用无刻度的直尺与圆规去画出${\sqrt[{3}]{2}}$的位置

最大的横切面

立方体的横切面只有四种：

• 三角形
• 矩形
• 五边形
• 六边形

其中以正六边形的面积最大,若立方体的棱长为a,则正六边形的面积为${\frac {3{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}$。

参见

• 四角柱
• 超方形
• 正八面体

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, 立方体 （参阅柏拉图立体） 于MathWorld（英文）
• 折纸立方体 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. 立方體. MathWorld.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Mathematische Basteleien （页面存档备份，存于互联网档案馆）