二次方程

二次方程是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程。

一元二次方程

更多信息：一元二次方程

方程的一般形式

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为：$ax^{2}+bx+c=0\,$，其中 $a\neq 0$。$ax^{2}\,$为方程的二次项，$a\,$为方程的二次项系数；$bx\,$为一次项，$b\,$为一次项系数；$c\,$为常数项。若$a=0\,$，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。

求根公式

■$y={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x-{\frac {4}{3}}\,$
■$y=-{\frac {4}{3}}x^{2}+{\frac {4}{3}}x+{\frac {1}{3}}\,$
■$y=x^{2}+{\frac {1}{2}}\,$

一元二次方程根的判别式为$\Delta =b^{2}-4ac\,$。

若$\Delta >0\,$，则该方程有两个不相等的实数根： $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$；

若$\Delta =0\,$，则该方程有两个相等的实数根： $x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\,$；

若$\Delta <0\,$，则该方程有一对共轭复数根： $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\,$。

由上可知，在实数范围内求解一元二次方程，当$\Delta \geq 0\,$时，方程才有根（有两个不等实数根或两个相等实数根）；当$\Delta <0\,$时，方程有两个复数根，但是在实数范围无解。

根与系数的关系

更多信息：韦达定理

设$x_{1}\,$，$x_{2}\,$是一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\,$ （$a\neq 0\,$ ）的两根，则

两根之和：$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

两根之积：$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

求根公式的由来

中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做“根”，其后译成拉丁文radix。

我们通常把 $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 称之为 $ax^{2}+bx+c=0\,$ 的求根公式：

$${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}$$

或不将$x^{2}$系数化为1：

$${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}$$

对应函数的极值

设 $y=ax^{2}+bx+c\,$（$a\neq 0\,$），
对$x\,$求导，得

${\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=2ax+b$

令 ${\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=0$，得

${\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}$

即为 $y\,$的极值点，该式亦为函数图形（即抛物线）的对称轴方程。 将 $x=-{\frac {b}{2a}}$ 代入 $y\,$，可得

${\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}$

即为 $y\,$ 的极值。

根据函数取极值的充分条件，即：
$f''(x)<0\,$，$x\,$是$f(x)\,$ 的极大值点，
$f''(x)>0\,$，$x\,$是$f(x)\,$ 的极小值点；
由${\frac {\mathop {\mbox{d}} ^{2}y}{\mathop {\mbox{d}} x^{2}}}=2a$，可知：
当$a<0\,$时（抛物线开口向下），$x=-{\frac {b}{2a}}$为$y\,$的极大值点；
当$a>0\,$时（抛物线开口向上），$x=-{\frac {b}{2a}}$为$y\,$的极小值点。

参见

• 一次方程
• 抛物线
• 配方法
• 圆锥曲线