希尔球

二体因重力互相绕行的等效位能的等位能图，希尔球是分别环绕着这两个大质量天体的圆型区域。

希尔球，又称洛希球，粗略来说，是环绕在天体（像是行星）周围的空间区域，那里被它吸引的天体（像是卫星）受到它的控制，而不是被它绕行的较大天体（像是恒星）所控制。因此，行星若要留住卫星，卫星的轨道必须在行星的希尔球内。同样地，月球也有它的希尔球，任何位于月球的希尔球内的天体将会成为月球的卫星，而不是地球的卫星。

更精确的说法，希尔球约为一个小天体在面对着一个大许多的天体的重力影响下，只会受到摄动影响的引力球范围。这是美国天文学家乔治·威廉·希尔以法国天文学家爱德华·洛希的工作为基础所定义的，由于这个缘故，它有时也被称为洛希球。

为了说明，以考虑木星环绕着太阳为例，对太空中任何的点，可以计算下面三种力的总和：

• 来自太阳的引力，
• 来自木星的引力，
• 在有着与木星相同频率的点上，绕着太阳运转的微粒所受到的离心力。

木星的希尔球是以木星为中心，这三种力量的总和永远都指向木星的最大的球。一般来说，它是围绕在绕着主要天体的次要天体周围的球形，在这个球形内的净力是一个指向次要天体的向心力。因此，希尔球在我们的例子中是描述一颗小的天体，像是卫星或人造卫星可以在木星附近稳定的绕着木星运转，而不会单纯的进入椭圆轨道绕着太阳运转的最大极限范围。

在两个天体中心的连线方向上，希尔球的边界在拉格朗日点L₁上，这也是次要天体的影响力最短的方向，限制了希尔球的大小。若超越了这个距离，第三个天体环绕着次要天体（此处以木星为例）的轨道就至少会有一部分逸出了希尔球，并且将会受到主要天体（此例中为太阳）渐增的潮汐力摄动，最后终将绕着后者运转。

虽然都是与洛希有关的术语，但洛希球绝不能和洛希极限或是洛希瓣混淆在一起。洛希极限是仅由重力维系的物体受到潮汐力作用开始被破坏的距离；洛希瓣描述的是一个环绕在两个天体周围的轨道，会造成这两个天体竞逐捕获这个天体的距离界限。

公式和例子

如果较小的天体（例如地球）质量是m，被它环绕的较重的天体（例如太阳）质量是M，轨道半长轴是a，离心率是e，则较小天体（例如地球）的希尔球半径r的近似值为：

$r\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}$

当离心率可以忽略时（最有利于稳定轨道的论点），公式可以简化为：

$r\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}$

在地球的例子中，地球质量为5.97×10²⁴公斤，以1.496亿公里的距离环绕着质量1.99×10³⁰公斤的太阳，希尔球的半径大约是150万公里（0.01天文单位）。月球绕地球的轨道平均距离为38万4,000公里，相当于¼希尔半径，很安稳的在地球引力的势力范围内，没有被扯入独立绕行太阳轨道的危险或顾虑。根据轨道的周期：地球所有稳定的卫星，它的轨道周期必须短于7个月。地球和月球的质量比是81倍，由此可知月球的希尔半径是地月距离的16%，即是61,535公里，相当于月球半径的35倍。

早先（省略掉离心率）的公式可以再改以下面的形式呈现：

$3{\frac {r^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m}{M}}$

如此的表示法将希尔球的体积与次要天体环绕主要天体的轨道体积做了比较上的联系。具体的说法，质量的比率是这两个球体积比值的三倍。

快速的估计希尔球半径的方法是将上述等式中的质量用密度来取代：

${\frac {r}{R_{secondary}}}\approx {\frac {a}{R_{primary}}}{\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{secondary}}{3\rho _{primary}}}}\approx {\frac {a}{R_{primary}}}$

此处$\rho _{second}$和$\rho _{primary}$分别是主要天体和次要天体的密度，并且${\frac {r}{R_{secondary}}}$和${\frac {a}{R_{primary}}}$是它们的半径。第二个公式在太阳系内大部分的事例中都与事实大略相符，${\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{secondary}}{3\rho _{primary}}}}$的值都接近1（地-月系统是最大的例外，并且大多数的土星卫星都在20%之内。）这是很方便的型式，因此许多天文学家都记住行星的半径，并以此为单位进行计算的工作。

真实稳定的区域

希尔球只是估计的大小，因为还有其它的力（像是辐射压和亚尔科夫斯基效应）也会造成摄动使它逸出到球外。第三个天体的质量也必须够小，才不致于因为自身的引力影响而使情形变得复杂。详细的数值计算显示，轨道在或正好在希尔球内的天体，在长远看来仍是不稳定的；看起来稳定的卫星轨道半径只在希尔球半径的½或⅓的范围之内（逆行轨道似乎比顺行轨道稳定）。

更多的例子

太空人不可能在地球上空300公里之处围绕着航天飞机（质量大约104公吨）运转，因为希尔球的半径只有120公分，远比航天飞机本身还要小。事实上，任何一颗低地球轨道卫星（高度1,400公里），密度必须是铅的800倍以上（9102.6 g/cm³），才可能拥有自己的希尔球，否则它将不足以胜任支持任何的轨道。（铅的密度是11.34 g/cm³，地球质量为5.9742×10²⁴kg。一颗球形的同步卫星将需要铅密度的5倍足以维系自己的卫星，这样的卫星密度是地球上自然产物中密度最高的元素铱的2.5倍（同步轨道的高度是35,786公里，铱的密度是22.65 g/cm³）。只有在两倍于同步轨道的高度上，一颗铅球可以维系自身的卫星轨道；由于月球的轨道远大于同步轨道距离的2倍以上，因此环绕月球的轨道是存在的。

在太阳系，海王星有着最大的希尔球，半径是1亿1,600万公里，或是0.775天文单位；因为他与太阳距离的遥远，充分的补偿了它的质量低于木星的不足，木星的希尔球半径只有5,300万公里。主带小行星中的谷神星，希尔球的半径只有22万公里。因为质量的迅速减少，有一颗卫星的1994 KW₄，是接近水星的小行星，希尔球的半径为22公里。

太阳系的例子

下图列示太阳系各主要天体的希尔球半径（公里）:

太阳系各主要天体的希尔球半径（公里）

相关条目

• N体问题
• 洛希极限
• 洛希瓣

外部链接

• Can an Astronaut Orbit the Space Shuttle?
• The moon that went up a hill, but came down a planet （页面存档备份，存于互联网档案馆）