局部緊阿貝爾群

在調和分析、拓撲學與數論等數學領域中，局部緊阿貝爾群是具有特別方便拓撲的阿貝爾群。例如整數群（具有離散拓撲）、圓或實數（都具有通常拓撲）都是局部緊阿貝爾群。

定義與例子

有拓撲空間，若其底拓撲空間是局部緊豪斯多夫空間，則稱拓撲空間是局部緊的；若底群的阿貝爾群，則稱拓撲群是阿貝爾的。

局部緊阿貝爾群的例子有：

• $\mathbb {R} ^{n}$，其中n是正整數，向量加法為群作用。
• 正實數$\mathbb {R} ^{+}$，乘法為群作用。由指數映射與$(\mathbb {R} ,+)$同構。
• 任意具有離散拓撲的有限阿貝爾群。由有限生成阿貝爾群的基本定理，所有此種群都是循環群之積。
• 具有離散拓撲的整數$\mathbb {Z}$，加法為群作用。
• 圓群，對環面記作$\mathbb {T}$。這是模為1的複數群。$\mathbb {T}$作為拓撲群同構於商群$\mathbb {R} /\mathbb {Z}$。
• P進數域$\mathbb {Q} _{p}$，加法為群作用，具有通常的P進拓撲。

對偶群

若G的局部緊阿貝爾群，則G的特徵是G到圓群$\mathbb {T}$的連續群同態。G上的特徵集可組成局部緊阿貝爾群，稱作G的對偶群，記作${\widehat {G}}$；其群作用是特徵的逐點乘，特徵的逆是其復共軛，特徵空間的拓撲是緊集上的一致收斂拓撲（即緊緻開拓撲，將${\widehat {G}}$視作G到$\mathbb {T}$的所有連續函數空間的子集）。這種拓撲一般來說是不可度量的，但若G是可分局部緊阿貝爾群，則其對偶群可度量。 這類似於線性代數中的對偶空間：正如對域K上的向量空間V，對偶空間是$\mathrm {Hom} (V,K)$，對偶群$\mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )$也如此。更抽象地說，它們都是可表函子，分別表為'K、$\mathbb {T}$。

同構於對偶群的群（作為拓撲群）自對偶。實數與有限循環群是自對偶的，而實數群與對偶群並不自然同構，應視作兩個不同的群。

對偶群的例子

$\mathbb {Z}$的對偶群與圓群$\mathbb {T}$同構。加法下的整數$\mathbb {Z}$的有限循環群上的特徵由其在生成子1上的值決定。因此，對$\mathbb {Z}$上的特徵$\chi$，$\chi (n)=\chi (1)^{n}$。此外，這個公式為$\mathbb {T}$中任意選擇的$\chi (1)$定義了一個特徵。這種情況下，緊集上的一致收斂拓撲就是逐點收斂拓撲，這是從複數繼承來的圓群拓撲。

$\mathbb {T}$的對偶規範同構於$\mathbb {Z}$。事實上，$\mathbb {T}$上的特徵具有形式$z\mapsto z^{n}$，其中n是整數。由於$\mathbb {T}$是緊的，所以其對偶群的拓撲是一致收斂拓撲，也就是離散拓撲。

實數群$\mathbb {R}$是自對偶的，其上的特徵具有形式$r\mapsto e^{i\theta r}$，其中$\theta$是實數。有了這些對偶性，下面介紹的傅里葉變換就與$\mathbb {R}$上的經典傅里葉變換重合了。

同樣，p-進數群$\mathbb {Q} _{p}$是自對偶的（實際上，$\mathbb {Q} _{p}$的任意有限擴張也是自對偶的）。由此可見，賦值向量環是自對偶的。

龐特里亞金對偶性

龐特里亞金對偶性斷言，函子

$G\mapsto {\hat {G}}$

在局部緊阿貝爾群範疇（具有連續態射）的對偶範疇與它本身之間誘導出一個等價關係：

$LCA^{op}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}LCA.$

範疇論性質

Clausen (2017)證明，局部緊阿貝爾群範疇LCA大致可以度量整數和實數之間的差別。更確切地說，局部緊阿貝爾群範疇的代數K-理論譜，以及Z、R的都位於同一個同倫纖維序列中：

$K(\mathbf {Z} )\to K(\mathbf {R} )\to K(LCA).$

參考文獻

• Clausen, Dustin, A K-theoretic approach to Artin maps, 2017, arXiv:1703.07842v2