對角佔優矩陣 是指一矩陣 的每一橫行，對角線上元素的大小大於或等於同一橫行其他元素大小的和，一矩陣A 為對角佔優矩陣若
|
a
i
i
|
≥
∑
j
≠
i
|
a
i
j
|
for all
i
,
{\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i,\,}
其中a ij i 行第j 列的元素。
上述的定義中用到大於等於，其條件較鬆，因此有時會稱為弱對角佔優矩陣 ，若上述的定義用大於代替大於等於，則稱為強對角佔優矩陣 。對角優勢矩陣可以指弱對角佔優矩陣，也可以指強對角佔優矩陣，視上下文而定[ 1]
第一段的定義是考慮同一橫行其他元素大小的和，有時也稱為行對角優勢矩陣 ，若是考慮同一直列其他元素大小的和，則稱為列對角優勢矩陣 。
若一不可約 不可約對角優勢矩陣 。
矩陣
A
=
[
3
−
2
1
1
−
3
2
−
1
2
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}}
可得
|
a
11
|
≥
|
a
12
|
+
|
a
13
|
{\displaystyle |a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|}
|
3
|
≥
|
−
2
|
+
|
1
|
{\displaystyle |3|\geq |-2|+|1|}
|
a
22
|
≥
|
a
21
|
+
|
a
23
|
{\displaystyle |a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|}
|
−
3
|
≥
|
1
|
+
|
2
|
{\displaystyle |-3|\geq |1|+|2|}
|
a
33
|
≥
|
a
31
|
+
|
a
32
|
{\displaystyle |a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|}
|
4
|
≥
|
−
1
|
+
|
2
|
{\displaystyle |4|\geq |-1|+|2|}
因為任一對角線元素大小都大於等於同一行其他元素的和，因此A為對角優勢矩陣。
矩陣
B
=
[
−
2
2
1
1
3
2
1
−
2
0
]
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}}
但是
|
b
11
|
<
|
b
12
|
+
|
b
13
|
{\displaystyle |b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|}
|
−
2
|
<
|
2
|
+
|
1
|
{\displaystyle |-2|<|2|+|1|}
|
b
22
|
≥
|
b
21
|
+
|
b
23
|
{\displaystyle |b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|}
|
3
|
≥
|
1
|
+
|
2
|
{\displaystyle |3|\geq |1|+|2|}
|
b
33
|
<
|
b
31
|
+
|
b
32
|
{\displaystyle |b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|}
|
0
|
<
|
1
|
+
|
−
2
|
{\displaystyle |0|<|1|+|-2|}
因為
|
b
11
|
{\displaystyle |b_{11}|}
|
b
33
|
{\displaystyle |b_{33}|}
矩陣
C
=
[
−
4
2
1
1
6
2
1
−
2
5
]
{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}}
可得
|
c
11
|
≥
|
c
12
|
+
|
c
13
|
{\displaystyle |c_{11}|\geq |c_{12}|+|c_{13}|}
|
−
4
|
>
|
2
|
+
|
1
|
{\displaystyle |-4|>|2|+|1|}
|
c
22
|
≥
|
c
21
|
+
|
c
23
|
{\displaystyle |c_{22}|\geq |c_{21}|+|c_{23}|}
|
6
|
>
|
1
|
+
|
2
|
{\displaystyle |6|>|1|+|2|}
|
c
33
|
≥
|
c
31
|
+
|
c
32
|
{\displaystyle |c_{33}|\geq |c_{31}|+|c_{32}|}
|
5
|
>
|
1
|
+
|
−
2
|
{\displaystyle |5|>|1|+|-2|}
因為任一對角線元素大小都大於同一行其他元素的和，因此C為強對角優勢矩陣。
強對角優勢矩陣（或不可約對角優勢矩陣[ 2] 非奇異方陣 ，此結果即為Levy–Desplanques定理[ 3] Gershgorin圓定理
若埃爾米特 對角優勢矩陣
A
{\displaystyle A}
正定矩陣 。
若不考慮對稱性的條件，上述的矩陣不一定會是半正定矩陣。（例如，
[
−
5
2
1
]
[
1
1
0
1
1
0
1
0
1
]
[
−
5
2
1
]
=
10
−
5
5
<
0
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}&2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}\\2\\1\end{bmatrix}}=10-5{\sqrt {5}}<0}
Gershgorin圓定理
類似的，若埃爾米特強對角優勢矩陣的對角線元素為正，此矩陣為正定矩陣 ，此矩陣等於某個對角線元素為非負值實數的埃爾米特強對角優勢矩陣
A
{\displaystyle A}
x
I
{\displaystyle xI}
x
{\displaystyle x}
若高斯消元法 （LU分解）的矩陣為強對角優勢矩陣，不需要進行尋找軸元 的過程。
若一線性聯立方程的矩陣為強對角優勢矩陣或不可約對角優勢矩陣，利用雅可比法 及高斯-賽德爾迭代 的計算結果會收斂。
許多從有限元素法 中產生的矩陣都是對角優勢矩陣。
^ For instance, Horn and Johnson (1985, p. 349) use it to mean weak diagonal dominance.
^ Horn and Johnson, Thm 6.2.27.
^ Horn and Johnson, Thm 6.1.10. This result has been independently rediscovered dozens of times. A few notable ones are Lévy (1881), Desplanques (1886), Minkowski (1900), Hadamard (1903), Schur, Markov (1908), Rohrbach (1931), Gershgorin (1931), Artin (1932), Ostrowski (1937), and Furtwängler (1936). For a history of this "recurring theorem" see: Taussky, Olga . A recurring theorem on determinants . American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 56, No. 10). 1949, 56 (10): 672–676. JSTOR 2305561 doi:10.2307/2305561 Schneider, Hans. Olga Taussky-Todd's influence on matrix theory and matrix theorists. Linear and Multilinear Algebra. 1977, 5 (3): 197–224. doi:10.1080/03081087708817197
Gene H. Golub & Charles F. Van Loan. Matrix Computations , 1996. ISBN 0-8018-5414-8
Roger A. Horn & Charles R. Johnson. Matrix Analysis , Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
