可觀察量

斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，分裂成兩道銀原子束，一道銀原子束的$S_{z}$為上旋，另一道銀原子束的$S_{z}$為下旋。在這裏，$S_{z}$是可觀察量。

在物理學裏，特別是在量子力學裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質，稱為可觀察量（observable）。例如，物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統，然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為量子態，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來代表，量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

數學表述

本徵態

假設，物理量$O$是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符${\hat {O}}$，可能有很多不同的本徵值$O_{i}$與對應的本徵態$|e_{i}\rangle$，這些本徵態$|e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$，形成了具有正交歸一性的基底：

$\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$；

其中，$\delta _{ij}$是克羅內克函數。

任何描述這量子系統的量子態$|\psi \rangle$，都可以用這基底的本徵態表示為

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle$；

其中，$c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle$是複系數，是在量子態$|e_{i}\rangle$裏找到量子態$|\psi \rangle$的機率幅。

假設，量子態$|\psi \rangle$等於這些本徵態之中的一個本徵態$|e_{k}\rangle$，則對於這量子系統，測量可觀察量$O$，得到的結果必定等與本徵值$O_{k}$，機率為1，量子態$|\psi \rangle$是「確定態」。

統計詮釋

根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。

假設，某量子系統的量子態為

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle$。

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符${\hat {O}}$的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態$|e_{i}\rangle$，則改變為這本徵態的機率為$p_{i}=|c_{i}|^{2}$，測量結果是本徵值$O_{i}$，得到這本徵值的機率也為$p_{i}$。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態$|e_{i}\rangle$。

將算符${\hat {O}}$作用於量子態$|\psi \rangle$，會形成新量子態$|\phi \rangle$：

$|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle$。

從左邊乘以量子態$\langle \psi |$，經過一番運算，可以得到

$\langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量$O$的期望值：

$\langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$。

厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量$O$的期望值是實數：

$\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}$。

對於任意量子態$|\psi \rangle$，這關係都成立：

$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}$。

根據伴隨算符的定義，假設${\hat {O}}^{\dagger }$是${\hat {O}}$的伴隨算符，則$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle$。因此，

${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }$。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。

不相容可觀察量

假若兩種可觀察量的對易算符不等於0，則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」：

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0$；

其中，${\hat {A}}$、${\hat {B}}$分別是可觀察量$A$、$B$的算符。

這兩種算符${\hat {A}}$與${\hat {B}}$絕對不會有共同的基底。一般而言，${\hat {A}}$的本徵態與${\hat {B}}$的本徵態不同假設量子系統的量子態為$|\psi \rangle$。對於算符${\hat {A}}$，所有本徵值為$a_{i}$的本徵態$|\alpha _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$，形成一個基底。量子態$|\psi \rangle$可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|\alpha _{i}\rangle$；

其中，$c_{i}=\langle \alpha _{i}|\psi \rangle$是複系數，是在量子態$|\alpha _{i}\rangle$裏找到量子態$|\psi \rangle$的機率幅。

對於算符${\hat {B}}$，所有本徵值為$b_{i}$的本徵態$|\beta _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$，形成了另外一個基底。量子態$|\psi \rangle$可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ d_{i}|\beta _{i}\rangle$；

其中，$d_{i}=\langle \beta _{i}|\psi \rangle$是複系數，是在量子態$|\beta _{i}\rangle$裏找到量子態$|\psi \rangle$的機率幅。

對於量子系統的可觀察量$A$做測量，可能得到的結果是各種本徵態$|\alpha _{i}\rangle$的本徵值$a_{i}$，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為$a_{i}$的機率是$|c_{i}|^{2}$。

假設測量的結果是本徵值$a_{j}$，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態$|\alpha _{j}\rangle$。假若立刻再測量可觀察量$A$，由於量子態仍舊是本徵態$|\alpha _{j}\rangle$，所得到的測量值是本徵值$a_{i}$機率為1。假若立刻再對本徵態$|\alpha _{j}\rangle$測量可觀察量$B$，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值$b_{k}$，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態$|\beta _{k}\rangle$。

根據不確定性原理，

$\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|$。

設定$\chi =\left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|$。假設，$A$與$B$是兩個不相容可觀察量，則$\chi >0$。而$A$的不確定性與$B$的不確定性的乘積$\Delta A\ \Delta B$，必定大於或等於$\chi$。

實例

為了具體計算位置與動量的期望值，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。

位置與動量

位置$x$，動量$p$都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：

$\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}x\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ (x\psi )^{*}\psi \ dx=\langle x\rangle ^{*}$，

$\langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\psi \ dx=\langle p\rangle ^{*}$。

角動量

在三維空間裏，角動量算符的x-分量${\hat {L}}_{x}$是厄米算符。因為

$\langle L_{x}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle =\langle L_{x}\rangle$；

其中，$y$與$z$分別是位置的y-分量與z-分量，$p_{y}$與$p_{z}$分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地，角動量算符的y-分量${\hat {L}}_{y}$也是厄米算符。

參閱

• 位置算符
• 動量算符
• 角動量算符
• 哈密頓算符