達布積分

在實分析或數學分析中，達布積分（英語：Darboux integral）是一種定義一個函數的積分的方法，它是通過達布和構造的。達布積分和黎曼積分是等價的，也就是說，一個實值函數是達布可積的當且僅當它是黎曼可積的，並且積分的值相等。達布積分的定義比黎曼積分簡單，並且更具操作性。達布積分的名字來自於數學家讓·加斯東·達布。

區間的分割

一個閉區間 $[a,b]$ 的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$ 。每個閉區間 $[x_{i},x_{i+1}]$ 叫做一個子區間。定義 $\lambda$ 為這些子區間長度的最大值： $\lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})$ ，其中 $0\leq i\leq n-1$ 。

再定義取樣分割。一個閉區間 $[a,b]$ 的一個取樣分割是指在進行分割 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$ 後，於每一個子區間中 $[x_{i},x_{i+1}]$ 取出一點 $x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}$ 。 $\lambda$ 的定義同上。

精細化分割：設 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 以及 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ 構成了閉區間 $[a,b]$ 的一個取樣分割， $y_{0},\ldots ,y_{m}$ 和 $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ 是另一個分割。如果對於任意 $0\leq i\leq n$ ，都存在 $r(i)$ 使得 $x_{i}=y_{r(i)}$ ，並存在 $r(i)\leq j\leq r(i+1)$ 使得 $t_{i}=s_{j}$ ，那麼就把分割： $y_{0},\ldots ,y_{m}$ 、 $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ 稱作分割 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 、 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ 的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更「精細」。

達布和

設 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 為一個有界函數，又設

P:x_{0},\ldots ,x_{n}

是閉區間 $[a,b]$ 的一個分割。令:

M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)

m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)

$f$ 在分割 $P$ 下的上達布和定義為：

U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})

同樣的有下達布和的定義：

L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})

$f$ 的上達布積分指的是所有上達布和的下確界：

U_{f}=\inf\{U_{f,P}:P

是閉區間

[a,b]

的一個分割

\;\}

同樣的 $f$ 的下達布積分指的是所有下達布和的上確界：

L_{f}=\sup\{L_{f,P}:P

是閉區間

[a,b]

的一個分割

\;\}

如果 $U_{f}=L_{f}$ 那麼 $f$ 就稱作達布可積的，並用 $\int _{a}^{b}{f(t)\,dt}$ 表示，記作 $f$ 在區間 $[a,b]$ 的達布積分。

性質

對於任何給定的分割，上達布和永遠大於等於下達布和。此外，下達布和被限制在以 $b-a$ 為寬，以 $\mathrm {inf} (f)$ 為高的矩形下，占據 $[a,b]$ 。同樣，上達布和被限制在以 $b-a$ 為寬，以 $\mathrm {sup} (f)$ 為高的矩形上。

(b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)

下達布和和上達布和滿足

{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx

對處於 $(a,b)$ 的任意 $c$

{\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}

下達布積分和上達布積分不必要是線性的。令 $g:[a,b]\rightarrow R$ 是一個有界函數，則上達布積分和下達布積分滿足下面的不等關係。

{\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\end{aligned}}

對於一個常數 $c\geq 0$ 我們有

{\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}

對於一個常數 $c\leq 0$ 我們有

{\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}

考慮函數 $F:[a,b]\rightarrow R$ 定義為

F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(x)\,dx

那麼 $F$ 是利普希茨連續的。當 $F$ 是用達布積分定義的，一個相似的結論也成立。

例子

一個達布可積函數

假設我們想證明函數 $f(x)=x$ 在區間 $[0,1]$ 上是達布可積的，並且確定它的值。我們需要把區間 $[0,1]$ 分割為 $n$ 個等大的子區間，每個區間長度為 ${\frac {1}{n}}$ 。我們取 $n$ 個等大的子區間中一個作為 $P_{n}$ 。

現在因為 $f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上嚴格單增，在任意一個特定子區間上的下確界即它的起點。同樣，在任意一個特定子區間上的上確界即它的終點。在 $P_{n}$ 中第 $k$ 個子區間的起點是 ${\frac {k-1}{n}}$ ，終點是 ${\frac {k}{n}}$ 。那麼在一個分割 $P_{n}$ 上的下達布和就是

{\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}

類似地，上達布和為

{\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}

由於

{\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&={\frac {1}{n}}\end{aligned}}

則對於任意 $\varepsilon >0$ ，我們得到對於 $n>{\frac {1}{\varepsilon }}$ 的任何分割 $P_{n}$ 都滿足

{\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&<\epsilon \end{aligned}}

得證 $f$ 是達布可積的。要找到這個積分的值需要注意到

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}

一個不可積函數

如果我們有函數 $f:[0,1]\rightarrow R$ 定義為

{\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0,x\in \mathbb {Q} \\1,x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}\end{aligned}}

由於有理數和無理數都是R的稠密子集，因而斷定 $f$ 在任何分割的任何子區間只能取0或1。所以對於任意分割 $P$ 我們有

{\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}

從中我們可以看出上下達布和不等。

與黎曼積分的關係

如果分割 $P':y_{0},\ldots ,y_{m}$ 比分割 $P:x_{0},\ldots ,x_{n}$ 「精細」，那麼有 $U_{f,P}\geq U_{f,P'}$ 以及 $L_{f,P}\leq L_{f,P'}$ 。這是因為 $P'$ 實際上是將 $P$ 中的若干個子區間再做分割，而分割後的子區間上 $f$ 的上（下）確界必然比原來區間的上（下）確界小（大）。（見圖）

如果 $P_{1},P_{2}$ 是同一個區間的兩個分割（不一定要一個比另一個「精細」），那麼

L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}}

.

所以，

L_{f}\leq U_{f}

顯然，一個分割的黎曼和一定介於對應的上達布和與下達布和之間。正規的說，如果

P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!

並且

T=(t_{1},\ldots ,t_{n})\,\!

共同構成區間上的一個取樣分割

x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}\,\!

(正如黎曼積分的定義中那樣)，對應 $P$ 和 $T$ 的黎曼和為 $R$ ，就有

L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.\,\!

由上可以看出，黎曼積分的第二個定義與達布積分的定義等價（見黎曼積分）。如果一個函數 $f$ 在區間 $[a,b]$ 的達布積分存在，那麼一個對於足夠精細的分割，上達布和與下達布和之間的差將能夠無限趨近於0（都趨近於共同的極限），因此比其更為精細的分割，黎曼和將介於上達布和與下達布和之間，於是趨於一個極限。同時，注意到對於一個分割，我們可以適當取樣使得取樣的函數值趨於上（下）確界（由確界的定義）。這表明如果黎曼和趨於一個定值，則上下達布和之間的差將趨於0，也就是說達布積分存在。

參見