雜湊表

散列表（Hash table），是根據鍵（Key）而直接訪問在記憶體儲存位置的數據結構。也就是說，它通過計算出一個鍵值的函數，將所需查詢的數據映射到表中一個位置來讓人訪問，這加快了查找速度。這個映射函數稱做散列函數，存放記錄的數組稱做散列表。

一個通俗的例子是，為了查找電話簿中某人的號碼，可以創建一個按照人名首字母順序排列的表（即建立人名 $x$ 到首字母 $F(x)$ 的一個函數關係），在首字母為W的表中查找「王」姓的電話號碼，顯然比直接查找就要快得多。這裡使用人名作為關鍵字，「取首字母」是這個例子中散列函數的函數法則 $F()$ ，存放首字母的表對應散列表。關鍵字和函數法則理論上可以任意確定。

可以將散列表理解為一串按順序放的數組，數組的下標是從key經過計算得出，數組每個位置存放 value。這裡有很多將key轉換為下標的函數，比如取模，md5等。可以在哈希表可視化頁面直觀操作，理解這裡的數據結構。

基本概念

若關鍵字為 $k$ ，則其值存放在 $f(k)$ 的存儲位置上。由此，不需比較便可直接取得所查記錄。稱這個對應關係 $f$ 為散列函數，按這個思想建立的表為散列表。

對不同的關鍵字可能得到同一散列地址，即 $k_{1}\neq k_{2}$ ，而 $f(k_{1})=f(k_{2})$ ，這種現象稱為衝突（英語：Collision）。具有相同函數值的關鍵字對該散列函數來說稱做同義詞。綜上所述，根據散列函數 $f(k)$ 和處理衝突的方法將一組關鍵字映射到一個有限的連續的地址集（區間）上，並以關鍵字在地址集中的「像」作為記錄在表中的存儲位置，這種表便稱為散列表，這一映射過程稱為散列造表或散列，所得的存儲位置稱散列地址。

若對於關鍵字集合中的任一個關鍵字，經散列函數映象到地址集合中任何一個地址的概率是相等的，則稱此類散列函數為均勻散列函數（Uniform Hash function），這就使關鍵字經過散列函數得到一個「隨機的地址」，從而減少衝突。

構造散列函數

散列函數能使對一個數據序列的訪問過程更加迅速有效，通過散列函數，數據元素將被更快定位。

直接定址法：取關鍵字或關鍵字的某個線性函數值為散列地址。即 $hash(k)=k$ 或 $hash(k)=a\cdot k+b$ ，其中 $a\,b$ 為常數（這種散列函數叫做自身函數）
數字分析法：假設關鍵字是以r為基的數，並且哈希表中可能出現的關鍵字都是事先知道的，則可取關鍵字的若干數位組成哈希地址。
平方取中法：取關鍵字平方後的中間幾位為哈希地址。通常在選定哈希函數時不一定能知道關鍵字的全部情況，取其中的哪幾位也不一定合適，而一個數平方後的中間幾位數和數的每一位都相關，由此使隨機分布的關鍵字得到的哈希地址也是隨機的。取的位數由表長決定。
摺疊法：將關鍵字分割成位數相同的幾部分（最後一部分的位數可以不同），然後取這幾部分的疊加和（捨去進位）作為哈希地址。
隨機數法
除留餘數法：取關鍵字被某個不大於散列表表長m的數p除後所得的餘數為散列地址。即 $hash(k)=k\,{\bmod {\,}}p$ , $p\leq m$ 。不僅可以對關鍵字直接取模，也可在摺疊法、平方取中法等運算之後取模。對p的選擇很重要，一般取素數或m，若p選擇不好，容易產生衝突。

處理衝突

為了知道衝突產生的相同散列函數地址所對應的關鍵字，必須選用另外的散列函數，或者對衝突結果進行處理。而不發生衝突的可能性是非常之小的，所以通常對衝突進行處理。常用方法有以下幾種：

開放定址法（open addressing）： $hash_{i}=(hash(key)+d_{i})\,{\bmod {\,}}m$ , $i=1,2...k\,(k\leq m-1)$ ，其中 $hash(key)$ 為散列函數， $m$ 為散列表長， $d_{i}$ 為增量序列， $i$ 為已發生衝突的次數。增量序列可有下列取法：

d_{i}=1,2,3...(m-1)

稱為線性探測（Linear Probing）；即

d_{i}=i

，或者為其他線性函數。相當於逐個探測存放地址的表，直到查找到一個空單元，把散列地址存放在該空單元。

d_{i}=\pm 1^{2},\pm 2^{2},\pm 3^{2}...\pm k^{2}

(k\leq m/2)

稱為 平方探測(Quadratic Probing)。相對線性探測，相當於發生衝突時探測間隔

d_{i}=i^{2}

個單元的位置是否為空，如果為空，將地址存放進去。

d_{i}=

偽隨機數序列，稱為 偽隨機探測。

顯示線性探測填裝一個散列表的過程：

關鍵字為{89,18,49,58,69}插入到一個散列表中的情況。此時線性探測的方法是取

d_{i}=i

。並假定取關鍵字除以10的餘數為散列函數法則。

散列地址	插入89	插入18	插入49	插入58	插入69
0			49	49	49
1				58	58
2					69
3
4
5
6
7
8		18	18	18	18
9	89	89	89	89	89

第一次衝突發生在填裝49的時候。地址為9的單元已經填裝了89這個關鍵字，所以取

i=1

，往下查找一個單位，發現為空，所以將49填裝在地址為0的空單元。第二次衝突則發生在58上，取

i=3

，往下查找3個單位，將58填裝在地址為1的空單元。69同理。

表的大小選取至關重要，此處選取10作為大小，發生衝突的幾率就比選擇質數11作為大小的可能性大。越是質數，mod取余就越可能均勻分布在表的各處。

聚集（Cluster，也翻譯做「堆積」）的意思是，在函數地址的表中，散列函數的結果不均勻地占據表的單元，形成區塊，造成線性探測產生一次聚集（primary clustering）和平方探測的二次聚集（secondary clustering），散列到區塊中的任何關鍵字需要查找多次試選單元才能插入表中，解決衝突，造成時間浪費。對於開放定址法，聚集會造成性能的災難性損失，是必須避免的。

單獨鍊表法：將散列到同一個存儲位置的所有元素保存在一個鍊表中。實現時，一種策略是散列表同一位置的所有衝突結果都是用棧存放的，新元素被插入到表的前端還是後端完全取決於怎樣方便。

雙散列。

再散列： $hash_{i}=hash_{i}(key)$ , $i=1,2...k$ 。 $hash_{i}$ 是一些散列函數。即在上次散列計算發生衝突時，利用該次衝突的散列函數地址產生新的散列函數地址，直到衝突不再發生。這種方法不易產生「聚集」（Cluster），但增加了計算時間。

建立一個公共溢出區。

例程

在C語言中，實現以上過程的簡要程序^[1]：

開放定址法：

// HashTable
InitializeTable(int TableSize) {
    HashTable H;
    int i;
    // 為散列表分配空間
    // 有些编譯器不支持為struct HashTable 分配空間，聲稱這是一個不完全的結構，
    // 可使用一个指向HashTable的指針為之分配空間。
    // 如：sizeof(Probe)，Probe作为HashTable在typedef定義的指針。
    H = malloc(sizeof(struct HashTable));
    // 散列表大小为一个質数
    H->TableSize = Prime;
    // 分配表所有地址的空間
    H->Cells = malloc(sizeof(Cell) * H->TableSize);
    // 地址初始為空
    for (i = 0; i < H->TableSize; i++)
        H->Cells[i].info = Empty;
    return H;
}

查找空單元並插入：

// Position
Find(ElementType Key, HashTable H) {
    Position Current;
    int CollisionNum;
    // 冲突次数初始为0
    // 通過表的大小對關鍵字進行處理
    CollisionNum = 0;
    Current = Hash( Key, H->TableSize );
    // 不為空時進行查詢
    while (H->Cells[Current].info != Empty &&
            H->Cells[Current].Element != Key) {
        Current = ++CollosionNum * ++CollisionNum;
        // 向下查找超過表範圍時回到表的開頭
        if (Current >= H->TableSize)
            Current -= H->TableSize;
    }
    return Current;
}

分離連接法

查找效率

散列表的查找過程基本上和造表過程相同。一些關鍵碼可通過散列函數轉換的地址直接找到，另一些關鍵碼在散列函數得到的地址上產生了衝突，需要按處理衝突的方法進行查找。在介紹的三種處理衝突的方法中，產生衝突後的查找仍然是給定值與關鍵碼進行比較的過程。所以，對散列表查找效率的量度，依然用平均查找長度來衡量。

查找過程中，關鍵碼的比較次數，取決於產生衝突的多少，產生的衝突少，查找效率就高，產生的衝突多，查找效率就低。因此，影響產生衝突多少的因素，也就是影響查找效率的因素。影響產生衝突多少有以下三個因素：

散列函數是否均勻；
處理衝突的方法；
散列表的載荷因子（英語：load factor）。

載荷因子

散列表的載荷因子定義為： $\alpha$ = 填入表中的元素個數 / 散列表的長度

$\alpha$ 是散列表裝滿程度的標誌因子。由於表長是定值， $\alpha$ 與「填入表中的元素個數」成正比，所以， $\alpha$ 越大，表明填入表中的元素越多，產生衝突的可能性就越大；反之， $\alpha$ 越小，標明填入表中的元素越少，產生衝突的可能性就越小。實際上，散列表的平均查找長度是載荷因子 $\alpha$ 的函數，只是不同處理衝突的方法有不同的函數。

對於開放定址法，荷載因子是特別重要因素，應嚴格限制在0.7-0.8以下。超過0.8，查表時的CPU緩存不命中（cache missing）按照指數曲線上升。因此，一些採用開放定址法的hash庫，如Java的系統庫限制了荷載因子為0.75，超過此值將resize散列表。

舉例：Linux內核的bcache

Linux操作系統在物理文件系統與塊設備驅動程序之間引入了「緩衝區緩存」（Buffer Cache，簡稱bcache）。當讀寫磁盤文件的數據，實際上都是對bcache操作，這大大提高了讀寫數據的速度。如果要讀寫的磁盤數據不在bcache中，即緩存不命中（miss），則把相應數據從磁盤加載到bcache中。一個緩存數據大小是與文件系統上一個邏輯塊的大小相對應的（例如1KiB字節），在bcache中每個緩存數據塊用struct buffer_head記載其元信息：

struct buffer_head {
    char *b_data;               // 指向缓存的数据块的指针
    unsigned long b_blocknr;    // 逻辑块号
    unsigned short b_dev;       // 设备号
    unsigned char b_uptodate;   // 缓存中的数据是否是最新的
    unsigned char b_dirt;       // 缓存中数据是否为脏数据
    unsigned char b_count;      // 这个缓存块被引用的次数
    unsigned char b_lock;       // b_lock表示这个缓存块是否被加锁
    struct task_struct *b_wait; // 等待在这个缓存块上的进程
    struct buffer_head *b_prev; // 指向缓存中相同hash值的下一个缓存块
    struct buffer_head *b_next; // 指向缓存中相同hash值的上一个缓存块
    struct buffer_head *b_prev_free; // 缓存块空闲链表中指向下一个缓存块
    struct buffer_head *b_next_free; // 缓存块空闲链表中指向上一个缓存块
};

整個bcache以struct buffer_head為基本數據單元，組織為一個封閉定址（close addressing，即「單獨鍊表法」解決衝突）的散列表struct buffer_head * hash_table[NR_HASH]; 散列函數的輸入關鍵字是b_blocknr（邏輯塊號）與b_dev（設備號）。計算hash值的散列函數表達式為：

(b_dev ^ b_blocknr) % NR_HASH

其中NR_HASH是散列表的條目總數。發生「衝突」的struct buffer_head，以b_prev與b_next指針組成一個雙向（不循環）鍊表。bcache中所有的struct buffer_head，包括使用中不空閒與未使用空閒的struct buffer_head，以b_prev_free和b_next_free指針組成一個雙向循環鍊表free_list，其中未使用空閒的struct buffer_head放在該鍊表的前部。

參考文獻

^ Data Structures and Algorithm Analysis in C (2nd edition).. [2017-02-16]. （原始內容存檔於2020-11-09）.

[例程-1] Data Structures and Algorithm Analysis in C (2nd edition).. [2017-02-16]. （原始內容存檔於2020-11-09）.

[1]

閱論編數據結構
類型	集合容器
抽象類型	關聯數組多重關連數組（英語：Multimap）串列前向串列堆棧隊列雙端隊列優先隊列雙端優先隊列集合多重集併查集可持久化數據結構線段樹
數組	字串位數組環形緩衝器動態數組哈希表哈希數組樹（英語：Hashed array tree）稀疏矩陣
鏈（英語：Linked data structure）	關聯表（英語：Association list）鍊表跳躍列表鬆散鍊表（英語：Unrolled linked list）異或鍊表
樹	線段樹自平衡二叉查找樹 B樹二叉樹 AA樹 AVL樹紅黑樹平衡樹伸展樹二叉查找樹堆二叉堆左偏樹二項堆斐波那契堆 R樹 R*樹 R+樹希爾伯特R樹（英語：Hilbert R-tree）希爾伯特前綴樹哈希樹
圖	有向圖有向無環圖二元決策圖無向圖確定性非循環有限自動機（英語：Deterministic acyclic finite state automaton）
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