动量算符

在量子力学里，动量算符（英语：momentum operator）是一种算符，可以用来计算一个或多个粒子的动量。对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作用于波函数 $\psi (x)\,\!$ 的动量算符可以写为

${\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ ；

其中，${\hat {p}}\,\!$ 是动量算符，$\hbar \,\!$ 是约化普朗克常数，$i\,\!$ 是虚数单位，$x\,\!$ 是位置。

给予一个粒子的波函数 $\psi (x)\,\!$ ，这粒子的动量期望值为

$\langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}(x){\hat {p}}\psi (x)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}(x){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x)\ dx\,\!$ ；

其中，$p\,\!$ 是动量。

导引 1

对于一个非相对论性的自由粒子，位势 $V(x)=0\,\!$ ，不含时薛丁格方程式表达为

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \psi (x)=E\psi (x)\,\!$ 。

其中，$\hbar \,\!$ 是约化普朗克常数，$m\,\!$ 是粒子的质量，$\psi (x)\,\!$ 是粒子的波函数，$x\,\!$ 是粒子的位置，$E\,\!$ 是粒子的能量。

这薛丁格方程式的解答 $\psi _{k}(x)\,\!$ 是一个平面波：

$\psi _{k}(x)=e^{ikx}\,\!$ ；

其中，$k\,\!$ 是波数，$k^{2}=2mE/\hbar ^{2}\,\!$ 。

根据德布罗意假说，自由粒子所表现的物质波，其波数与自由粒子动量的关系是

$p=\hbar k\,\!$ 。

自由粒子具有明确的动量 $p\,\!$ ，给予一个系综许多相同的自由粒子系统。每一个自由粒子系统的量子态都一样。标记粒子的动量算符为 ${\hat {p}}\,\!$ 。假若，对于这系综内，每一个自由粒子系统的动量所作的测量，都得到同样的测量值 $p\,\!$ ，那么，不确定性 $\sigma _{p}=0\,\!$ ，这自由粒子的量子态是确定态，是 ${\hat {p}}\,\!$ 的本征态，在位置空间(position space)里，本征函数为 $\psi _{k}\,\!$ ，本征值为 $p\,\!$ ：

${\hat {p}}\psi _{k}(x)=p\psi _{k}(x)\,\!$ 。

换句话说，在位置空间里，动量算符的本征函数必须是自由粒子的波函数 $\psi _{k}(x)\,\!$ 。

为了要达到此目标，势必要令

${\hat {p}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi _{k}(x)\,\!$ 。

所以，可以认定动量算符的形式为

${\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ 。

导引 2

在古典力学里，动量是质量乘以速度：

$p=mv=m{\frac {dx}{dt}}\,\!$ 。

在量子力学里，由于粒子的位置不是明确的，而是机率性的。所以，猜想这句话是以期望值的方式来实现：

$\langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle \,\!$ 。

那么，用积分方程式来表达，

$\langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\ dx\,\!$ ；

其中，$\Psi (x,\,t)\,\!$ 是波函数。

取微分于积分号下，

$\langle p\rangle =m\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial x}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\!$ 。

由于 $x\,\!$ 只是一个位置的统计参数，不跟时间有关，

$\langle p\rangle =m\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\!$ 。(1)

含时薛丁格方程式为

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V\Psi \,\!$ ；

其中， $V\,\!$ 是位势。

其共轭复数为

$i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}-V\Psi ^{*}\,\!$ 。

将上述两个方程式代入方程式 (1)，可以得到

${\begin{aligned}\langle p\rangle &={\frac {m}{i\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -V\Psi ^{*}x\Psi -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+\Psi ^{*}xV\Psi \right)dx\\&={\frac {\hbar }{i2}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -\Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\right)dx\\\end{aligned}}\,\!$ 。

使用分部积分法，并利用当x趋于无穷大时波函数$\Psi \,\!$趋于零的特性，有

$\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi \ dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\Psi \ dx-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!$ ，(2)

$\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\ dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!$ 。(3)

方程式 (2) 与 (3) 的减差（使用分部积分法，并利用当x趋于无穷大时波函数$\Psi \,\!$趋于零的特性）

$(2)-(3)=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left(-{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right)dx=2\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!$ 。

所以，

$\langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi \ dx\,\!$ 。

对于任意波函数 $\Psi \,\!$ ，这方程式都成立。因此，可以认定动量算符 ${\hat {p}}\,\!$ 为 ${\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ 。

厄米算符

由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 $O\,\!$ 的期望值是实值的：

$\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!$ 。

对于任意量子态 $|\psi \rangle \,\!$ ，这关系都成立：

$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!$ 。

根据伴随算符的定义，假设 ${\hat {O}}^{\dagger }\,\!$ 是 ${\hat {O}}\,\!$ 的伴随算符，则 $\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!$ 。因此，

${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!$ 。

这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ${\hat {O}}\,\!$ ，都是厄米算符。

动量是一个可观察量，动量算符应该也是厄米算符：选择位置空间，量子态 $|\psi \rangle \,\!$ 的波函数为 $\psi (x)\,\!$ ，

${\begin{aligned}\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right)\psi \ dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \\\end{aligned}}$ 。

对于任意量子态 $|\psi \rangle \,\!$ ，${\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!$ 。所以，动量算符确实是一个厄米算符。

本征值与本征函数

假设，动量算符 ${\hat {p}}\,\!$ 的本征值为 $p\,\!$ 的本征函数是 $f_{p}(x)\,\!$ ：

${\hat {p}}f_{p}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial f_{p}(x)}{\partial x}}=pf_{p}(x)\,\!$ 。

这方程式的一般解为，

$f_{p}(x)=f_{0}e^{ipx/\hbar }\,\!$ ；

其中，$f_{0}\,\!$ 是常数。

假设 $f_{p}(x)\,\!$ 的定义域是一个有限空间，从 $x=-L\,\!$ 到 $x=L\,\!$ ，那么，可以将 $f_{p}(x)\,\!$ 归一化：

$\int _{-L}^{L}\ f_{p}^{*}(x)f_{p}(x)\ dx=|f_{0}|^{2}\int _{-L}^{L}\ dx=|f_{0}|^{2}2L=1\,\!$ 。

$f_{0}\,\!$ 的值是 $1/{\sqrt {2L}}\,\!$ 。动量算符的本征函数归一化为 $f_{p}(x)={\frac {1}{\sqrt {2L}}}e^{ipx/\hbar }\,\!$ 。

假设 $f_{p}(x)\,\!$ 的定义域是无穷大空间，则 $f_{p}(x)\,\!$ 不是一个平方可积函数：

$\int _{-\infty }^{\infty }\ f_{p}^{*}(x)f_{p}(x)\ dx=|f_{0}|^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\ dx=\infty \,\!$ 。

动量算符的本征函数不存在于希尔伯特空间内，不能直接地积分 $|f_{p}(x)|^{2}\,\!$ 于无穷大空间，来使 $f_{p}(x)\,\!$ 归一化。

换另一种方法，设定 $f_{0}=1/{\sqrt {2\pi \hbar }}\,\!$ 。那么，

$\int _{-\infty }^{\infty }\ f_{p1}^{*}(x)f_{p2}(x)\ dx={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i(p1-p2)x/\hbar }\ dx=\delta (p1-p2)\,\!$ ；

其中，$\delta (p1-p2)\,\!$ 是狄拉克δ函数。

这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，动量算符的本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 $\psi (x)\,\!$ 都可以表达为本征函数的线性组合：

$\psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }c(p)f_{p}(x)\ dp={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }c(p)e^{ipx/\hbar }\ dp\,\!$ ；

其中，系数 $c(p)\,\!$ 是

$c(p)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{p}^{*}(x)\psi (x)\ dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)e^{-ipx/\hbar }\ dx\,\!$ 。

正则对易关系

位置算符与动量算符的交换算符，当作用于一个波函数时，有一个简单的结果：

$[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi \,\!$ 。

所以，$[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar \,\!$ 。这关系称为位置算符与动量算符的正则对易关系。由于两者的正则对易关系不等于 0 ，位置与动量彼此是不相容可观察量。${\hat {x}}\,\!$ 与 ${\hat {p}}\,\!$ 绝对不会有共同的基底量子态。一般而言，${\hat {x}}\,\!$ 的本征态与 ${\hat {p}}\,\!$ 的本征态不同。

根据不确定性原理，

$\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|\,\!$ 。

由于 $x\,\!$ 与 $p\,\!$ 是两个不相容可观察量，$\left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2\,\!$ 。所以，$x\,\!$ 的不确定性与 $p\,\!$ 的不确定性的乘积 $\Delta x\ \Delta p\,\!$ ，必定大于或等于 $\hbar /2\,\!$ 。