水平集

在数学领域中, 一个具有n变量的实值函数f的水平集是具有以下形式的集合

{ (x₁,...,x_n) | f(x₁,...,x_n) = c }

其中 c 是常数. 即, 使得函数值具有给定常数的变量集合.

当具有两个变量时, 称为水平曲线(等高线), 如果有三个变量, 称为水平曲面, 更多变量时, 水平集被叫做水平超曲面.

集合

{ (x₁,...,x_n) | f(x₁,...,x_n) ≤ c }

被称为 f 的 子水平集 .

其他名字

水平集具有很多重要的应用, 在不同的应用领域通常具有不同的名称.

例如, 水平曲线也被叫做隐式曲线(implicit curve)用来强调曲线是由隐函数(implicit function)定义的. 有时也使用等高线(isocontour)的名称, 表示一个具有相同高度(函数值)的轮廓. 在不同的应用领域, 等压线(isobar), 等温线(isotherm), 同风向线(isogon), 等时线(isochrone)都属于等值高线.

相应的, 水平曲面有时被叫做隐式曲面(implicit surface)或等值曲面(isosurface).

最后, 更加一般的水平集被叫做纤维(fiber).

例子

例如, 指定一个半径 r, 圆的方程可以定义为一个等高线.

r²=x² + y²

如果取 r=5, 那么等高值为 c=5²=25.

所有使得 x² + y²=25 的点 (x,y) 构成了它的等高线. 这就是说他们属于等高线的水平集. 如果 x² + y² 小于 25 这个点 (x,y) 就在等高线的内部. 如果大于 25 , 这个点就在等高线外部.

水平集与梯度

考虑一个山形函数. 蓝色曲线是它的水平集. 红色曲线沿着梯度的方向. 换句话说, 保守的旅行者走的是蓝色路径, 大胆的旅行者走的是红色路径.

定理. 函数f在一点处的梯度与在该点处 f 的水平集垂直.

这个定理是十分不寻常的. 为更好的理解定理的含义, 设想两个旅行者在一座山峰的同一位置.其中一个人很大胆, 决定从坡度最大的地方走. 另一个人比较保守; 他不想向上爬, 也不想走下去, 选择了一条在同一高度的路. 上面的定理就是说, 这两个旅行者相互离开的方向是互相垂直的.

证明. 设所考虑的点为 x₀ . 通过点 x₀ 的水平集是 {x | f(x) = f(x₀)}. 考虑一条通过点x₀并且属于水平集的曲线 γ(t) , 不妨假设 γ(0) = x₀. 从而得到

f({\mathbf {\gamma } }(t))=f({\mathbf {x} _{0}})=c.

使用链式法则, 在 t = 0 处微分. 我们发现

J_{f}({\mathbf {x} _{0}}){\mathbf {\gamma } }'(0)=0.

同时, f 在 x₀ 处的雅可比行列式等于 f 在点 x₀ 的梯度.

\nabla f({\mathbf {x} }_{0})\cdot {\mathbf {\gamma } }'(0)=0.

因此, f 在点 x₀ 处的梯度与曲线在该点处的切线 γ′(0) 垂直. 由于曲线 γ(t) 是任意的, 因而断定梯度与水平集垂直. Q.E.D.

这一定理的直接推论是, 如果水平集穿过其自身 (不是一个光滑子流形或超曲面) 那么梯度向量在所有交叉点处一定是零. 那么, 每个交叉点都是f的临界点.

参考资料