同伦

同伦（英语：Homotopic^{[注 1]}）在数学和拓扑学上描述了两个对象间的“连续变化”。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同伦群和上同伦群（英语：Cohomotopy group）的定义，它们是代数拓扑中重要的不变量（英语：Invariant (mathematics)）。

事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱（英语：Spectrum_(topology)）。

定义

两个将环面映射到R³的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。

给定两个拓扑空间 $X\,\!$ 和 $Y\,\!$ 。考虑两个连续函数 $f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!$ ，若存在一个定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的连续映射 $H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!$ 使得：

$\forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!$
$\forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!$

则称 $H$ 是 $f,\,g$ 之间的一个同伦^[1]^:183。

如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。

另一种观点是：对每个 $x\in X\,\!$ ，函数 $H\,\!$ 定义一条连接 $f(x)\,\!$ 与 $g(x)\,\!$ 的路径：

\gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!

右侧的循环动画展示了两个嵌入R³中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R³。f，g 是从环面到 R³的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了h_t(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。

性质

当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系^[1]^:184。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：

如果 f₁, g₁ : X → Y 是同伦的，并且 f₂, g₂ : Y → Z 是同伦的，则他们的复合 f₂ ∘ f₁ 与 g₂ ∘ g₁ : X → Z 也是同伦的。

例子

例一：取 $X=\mathbb {R} \,\!$ , $Y=\mathbb {R} \,\!$ , $f(x)=1\,\!$ 及 $g(x)=-1\,\!$ 。则 $f\,\!$ 与 $g\,\!$ 透过下述函数在 $Y\,\!$ 中同伦。

H(x,t)=1-2t\,\!

（注意到此例子不依赖于变量

x

，通常并非如此。）

注：“在

Y

中同伦”的说法提示一个重点：在例一中若将

Y=\mathbb {R} \,\!

代为子空间

Y'=\mathbb {R} ^{*}\,\!

，则虽然

f\,\!

与

g\,\!

仍取值在

Y'\,\!

，但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。

例二：取 $X=[0,1]\,\!$ , $Y=\mathbb {C} \,\!$ , $f(x)=e^{2i\pi x}\,\!$ 及 $g(x)=0\,\!$ 。则 $f\,\!$ 描绘一个以原点为圆心的单位圆； $g\,\!$ 停在原点。 $f\,\!$ 与 $g\,\!$ 透过下述连续函数同伦：

H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!

几何上来看，对每个值

t\,\!

，函数

h_{t}(x)=H(x,t)\,\!

描绘一个以原点为圆心，半径

1-t

的圆。

相对同伦

为定义高阶基本群，必须考虑相对于一个子空间的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化，正式定义是：设 $f,g:X\rightarrow Y$ 是连续函数，固定子空间 $K\subset X$ ；若存在前述同伦映射 $H:X\times [0,1]\rightarrow Y$ ，满足：