Miura变换 是R.M.Miura等数学家在1968年发现的KdV方程 与MKdV方程 的变换关系[ 1] [ 2]
KdV方程：:
u
t
−
6
u
u
x
+
u
x
x
x
=
0
{\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}
mKdV方程：
m
K
d
V
E
q
:=
v
t
−
6
v
2
v
x
+
v
x
x
x
=
0
{\displaystyle mKdVEq:=v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0}
将 Miura 变换
u
=
v
2
+
v
x
{\displaystyle u=v^{2}+v_{x}}
Eqk:
2
v
v
t
+
v
t
x
+
2
v
v
x
x
x
−
12
v
3
v
x
−
12
v
v
x
2
−
6
v
x
x
v
2
+
v
x
x
x
x
=
0
{\displaystyle 2vv_{t}+v_{tx}+2vv_{xxx}-12v^{3}v_{x}-12vv_{x}^{2}-6v_{xx}v^{2}+v_{xxxx}=0}
令
Eqm:
2
v
m
K
d
V
E
q
+
∂
(
m
K
d
V
E
q
)
∂
x
=
0
{\displaystyle 2vmKdVEq+{\frac {\partial (mKdVEq)}{\partial x}}=0}
Eqm:
2
v
v
t
+
v
t
x
+
2
v
v
x
x
x
−
12
v
3
v
x
−
12
v
v
x
2
−
6
v
x
x
v
2
+
v
x
x
x
x
=
0
{\displaystyle 2vv_{t}+v_{tx}+2vv_{xxx}-12v^{3}v_{x}-12vv_{x}^{2}-6v_{xx}v^{2}+v_{xxxx}=0}
显然， Eqk 和 Eqm 是相同的。
利用Miura变换求MKdV方程的解。 KdV方程 的一个平凡解为
u
(
x
,
t
)
=
1
{\displaystyle u(x,t)=1}
代人Miura变换得
v
(
x
,
t
)
2
+
v
(
x
,
t
)
x
=
1
{\displaystyle v(x,t)^{2}+v(x,t)_{x}=1}
解：
v
(
x
,
t
)
=
tanh
(
x
+
F
(
t
)
)
{\displaystyle v(x,t)=\tanh(x+F(t))}
其中F(t)为 t 的任意函数。
^ R.M.Miura et al,Korteweg-de Vries Equation and Generalization II. Existance of Conservation Laws and Constants of Motion, J.Math.Phys.9 1024-1209 1968
^ 阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》第79页 《Miura变换》， 科学出版社 2007年
