皮克定理

$b=14,i=39,A=45$

給定頂點座標均是整點（或正方形格子點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積 $A$ 和內部格點數目 $i$ 、邊上格點數目 $b$ 的關係：$A=i+{\frac {b}{2}}-1$。

證明

因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形 $P$ ，及跟 $P$ 有一條共同邊的三角形 $T$ 。若 $P$ 符合皮克公式，則只要證明 $P$ 加上 $T$ 的 $PT$ 亦符合皮克公式（I），與及三角形符合皮克公式（II），就可根據數學歸納法，對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。

多邊形

設 $P$ 和 $T$ 的共同邊上有 $c$ 個格點。

• $P$ 的面積： $i_{P}+{\frac {b_{P}}{2}}-1$
• $T$ 的面積： $i_{T}+{\frac {b_{T}}{2}}-1$
• $PT$ 的面積：

$(i_{T}+i_{P}+c-2)+{\frac {b_{T}-c+b_{P}-c+2}{2}}-1$

$=i_{PT}+{\frac {b_{PT}}{2}}-1$

三角形

證明分三部分：證明以下的圖形符合皮克定理：

1. 所有平行於軸線的矩形；
2. 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形；
3. 所有三角形（因為它們都可內接於矩形內，將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形）。

矩形

設矩形 $R$ 長邊短邊各有$m$,$n$個格點：

• $A_{R}=(m-1)(n-1)$
• $i_{R}=(m-2)(n-2)$
• $b_{R}=2(m+n)-4$

$i_{R}+{\frac {b_{R}}{2}}-1$

$=(m-2)(n-2)+(m+n)-2-1$

$=mn-(m+n)+1$

$=(m-1)(n-1)$

直角三角形

易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等，且 $i$ , $b$ 相等。設其斜邊上有 $c$ 個格點。

• $b=m+n+c-3$
• $i={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}$

$i+{\frac {b}{2}}-1$

$={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}+{\frac {m+n+c-3}{2}}-1$

$={\frac {(m-2)(n-2)}{2}}+{\frac {m+n-3}{2}}$

$={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}$

一般三角形

逆运用前面对2个多边形的证明：

既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，则 $P$ 加上 $T$ 的 $PT$ 亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。

于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。

推廣

• 取格點的組成圖形的面積為一單位。在平行四邊形格點，皮克定理依然成立。套用於任意三角形格點，皮克定理則是$A=2*i+b-2$。
• 對於非簡單的多邊形$P$，皮克定理$A=i+{\frac {b}{2}}-\chi (P)$，其中 $\chi (P)$ 表示 $P$ 的欧拉示性数。
• 高維推廣：Ehrhart多項式；一維：植樹問題。
• 皮克定理和歐拉公式（$V-E+F=2$）等價。

定理提出者

Georg Alexander Pick，1859年生於維也納，1943年死於特萊西恩施塔特集中營。

相關書籍

• 《格點和面積》 閔嗣鶴著

外部連結

• 以皮克定理證明歐拉公式 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英）
• 談求面積的 Pick 公式，蔡聰明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml （页面存档备份，存于互联网档案馆）