张量积

在数学中，张量积，记为 $\otimes$，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。

例子:

$\mathbf {b} \otimes \mathbf {a} \rightarrow {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{2}b_{1}&a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{3}&a_{2}b_{3}&a_{3}b_{3}\\a_{1}b_{4}&a_{2}b_{4}&a_{3}b_{4}\end{bmatrix}}$

结果的秩为2、维数为 4×3 = 12。

这里的秩指的是“张量秩”（所需指标数），而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目；矩阵的秩是 2。

代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。

两个张量的张量积

有两个（或更多）张量积的分量的一般公式。例如，如果 U 和 V 是秩分别为 n 和 m 的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为

$(V\otimes U)_{i_{1}i_{2}\dots i_{m+n}}=V_{i_{1}i_{2}i_{3}\dots i_{n}}U_{i_{n+1}i_{n+2}\dots i_{n+m}}$。

所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。

注意在张量积中，因子 V 消耗前 rank(V) 個指标，而因子 U 再消耗 rank(U) 個指标，所以

$\mathrm {rank} (V\otimes U)=\mathrm {rank} (V)+\mathrm {rank} (U)$

例子

设 U 是类型 (1,1) 的张量，带有分量 U^α_β；并设 V 是类型 (1,0) 的张量，带有分量 V^γ。则

$U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }=(U\otimes V)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }$

而

$V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }=(V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }$。

张量积继承它的因子的所有指标。

两个矩阵的克罗内克积

主条目：克罗内克积

对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 $U$ 和 $V$:

$U\otimes V={\begin{bmatrix}u_{11}V&u_{12}V&\cdots \\u_{21}V&u_{22}V\\\vdots &&\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{11}v_{11}&u_{11}v_{12}&\cdots &u_{12}v_{11}&u_{12}v_{12}&\cdots \\u_{11}v_{21}&u_{11}v_{22}&&u_{12}v_{21}&u_{12}v_{22}\\\vdots &&\ddots \\u_{21}v_{11}&u_{21}v_{12}\\u_{21}v_{21}&u_{21}v_{22}\\\vdots \end{bmatrix}}$。

多重线性映射的张量积

给定多重线性映射 $f(x_{1},\dots ,x_{k})$ 和 $g(x_{1},\dots ,x_{m})$ 它们的张量积是多重线性函数

$(f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m})$

向量空间的张量积

在域 $K$ 上的两个向量空间 V 和 W 的张量积 $V\otimes W$ 有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些 $(v,w)$ 的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为 $v\otimes w$。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。

要构造 $V\otimes W$，采用在 $K$ 之上带有基 $V\times W$ 的向量空间，并应用（因子化所生成的子空间）下列多线性关系:

• $(v_{1}+v_{2})\otimes w=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes w$
• $v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}$
• $cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)$

这里的 $v,v_{i},w,w_{i}$ 是来自适当空间的向量，而 $c$ 来自底层域 $K$。

我们可以推出恒等式

$0v\otimes w=v\otimes 0w=0(v\otimes w)=0$，

零在 $V\otimes W$ 中。

结果的张量积 $V\otimes W$ 自身是向量空间，它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 V 和 W 基 $\{v_{i}\}$ 和 $\{w_{i}\}$，形如 $v_{i}\otimes w_{j}$ 的张量形成 $V\otimes W$ 的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积；例如 $\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}$ 有维数 $mn$。

张量积的泛性质

张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 φ 把笛卡尔积 V × W 嵌入到向量空间 X 的问题。张量积构造 V ⊗ W 与给出自

$\phi (u,w)=u\otimes w$

的自然嵌入映射 φ : V × W → V ⊗ W 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对(X, ψ)，这里的 X 是向量空间，而 ψ 是双线性映射 V × W → X，则存在一个唯一的线性映射

$T:V\otimes W\rightarrow X$

使得

$\psi =T\circ \phi$。

假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。

直接推论是从 V × W 到 X 的双线性映射

$B(V\times W,X)$

和线性映射

$L(V\otimes W,X)$

的同一性。它是 ψ 到 T 的自然同构映射。

希尔伯特空间的张量积

两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。

定义

设 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 是两个希尔伯特空间，分别带有内积 $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{1}$ 和 $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}$。构造 H₁ 和H₂ 的张量积$H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}$如下：

考虑他们的作为线性空间的张量积$H=H_{1}\otimes H_{2}$。$H_{1}$ 和 $H_{2}$上的内积自然地扩展到$H$上：

由内积的双线性（Bilinearity），只需定义

$\langle \phi _{1}\otimes \phi _{2},\psi _{1}\otimes \psi _{2}\rangle =\langle \phi _{1},\psi _{1}\rangle _{1}\cdot \langle \phi _{2},\psi _{2}\rangle _{2}$

其中 $\phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}$ 和 $\phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}$ 即可。

现在$H$是一未必完备的内积空间。将$H$完备化，得到希尔伯特空间$H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}$，这就是 H₁ 和 H₂作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中，$H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}$具有如前所述的泛性质，即它是二者在该范畴内的乘积。

性质

如果 H₁ 和 H₂ 分别有正交基 {φ_k} 和 {ψ_l}，则 {φ_k ⊗ ψ_l} 是 H₁ ⊗ H₂ 的正交基。

与对偶空间的关系

在泛性质的讨论中，替代 X 为 V 和 W 的底层标量域生成空间 $(V\otimes W)^{\star }$（$V\otimes W$ 的对偶空间，包含在那个空间上的所有线性泛函），它自然的同一于在 $V\times W$ 上所有双线性函数的空间。换句或说，所有双线性泛函是在张量积上的泛函，反之亦然。

只要 $V$ 和 $W$ 是有限维的，在 $V^{\star }\otimes W^{\star }$ 和 $(V\otimes W)^{\star }$ 之间有一个自然的同构，而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 $V^{\star }\otimes W^{\star }\subset (V\otimes W)^{\star }$。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法，把双线性泛函看做张量积自身。

参见

• 外积
• 并矢积
• 張量積模型變換