四維加速度

在相對論中，四維加速度是牛頓力學中三維加速度的對應推廣，其為一個四維向量。四維加速度應用於反質子湮滅反應、奇異粒子共振、加速電荷的輻射現象等研究領域中。

慣性座標系中的四維加速度

在狹義相對論的慣性座標系中，四維加速度$\mathbf {A}$定義為四維速度$\mathbf {U}$對一移動物體之原時$\tau$的微分，也就是說

$\mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} \right)}{c^{2}}}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma _{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\right)\right)$,

其中

$\mathbf {a} ={d\mathbf {u} \over dt}$ ，應用到三維加速度$\mathbf {a}$與三維速度$\mathbf {u}$；

以及

${\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}$

應用到速度$u$（$|\mathbf {u} |=u$）下的勞侖茲因子$\gamma _{u}$。變數上方的點代表對本參考系座標時間$t$的微分，而非對物體原時$\tau$的微分。也就是說${\dot {\gamma }}_{u}={d\gamma _{u} \over dt}$)。

在與該物體瞬時共同移動的慣性座標系中$\mathbf {u} =0$, $\gamma _{u}=1$以及${\dot {\gamma }}_{u}=0$。亦即在這樣的參考系中，

$\mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right)$。

幾何學上來看，四維加速度是移動物體世界線的曲率向量。

因此四維向量的大小（乃一純量）等同於物體沿世界線移動所「感受」到的固有加速度。

一物體的四維速度與四維加速度的內積（純量積）總是為0。

四維加速度與四維力之間有著簡單的關係式：

$F^{\mu }=mA^{\mu },$

其中m是物體的不變質量。

當四維力為零，則僅只重力現象影響物體的軌跡，與牛頓第二運動定律相應的四維向量版本簡化為測地線方程式。依測地線移動的物體，其四維加速度為零；這表示重力其實不是一種力，而是受到扭曲的時空幾何。相應地，在牛頓力學，重力被當作一種力，其作用以三維加速度處理。

非慣性座標系中的四維加速度

非慣性座標系，包括了狹義相對論中的加速座標系以及廣義相對論中的任意座標系。在這樣的座標系情況下，四維加速度為四維速度對原時的絕對導數：

$A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }$

慣性座標系中，克里斯多福符號$\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }$皆為零，所以此式還原成上一節的式子。

值得注意的是：克里斯多福符號是在採用直角座標的慣性系中為零。若選用彎曲座標系以描述加速運動，則克里斯多福符號不全為零。

相關條目

• 四維向量
• 四維速度
• 四維動量
• 四維力

參考文獻

• Papapetrou A. Lectures on General Relativity. D. Reidel Publishing Company. 1974. ISBN 90-277-0514-3. 
• Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5.